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我们来分析题目给出的条件。 设复数 \(a=m+ni\) 和 \(b=p+qi\)，其中 \(m, n, p, q\) 均为实数。
第一个条件是 \((a+bi)i = 6+8i\)。 我们将 \(a\) 和 \(b\) 的表达式代入： \(a+bi = (m+ni) + (p+qi)i = m+ni+pi+qi^2 = (m-q) + (n+p)i\) 将其乘以 \(i\)： \(((m-q) + (n+p)i)i = (m-q)i + (n+p)i^2 = -(n+p) + (m-q)i\) 我们已知这个结果等于 \(6+8i\)。通过比较实部和虚部，我们得到两个方程：
第二个条件是 \(|a|+|b|=26\)。 \(|a| = \sqrt{m^2+n^2}\) \(|b| = \sqrt{p^2+q^2}\) 所以，\(\sqrt{m^2+n^2} + \sqrt{p^2+q^2} = 26\)。
我们的目标是求 \(\operatorname{Re}(a+b)\) 的最大值。 \(a+b = (m+ni) + (p+qi) = (m+p) + (n+q)i\) 所以，\(\operatorname{Re}(a+b) = m+p\)。我们需要最大化 \(m+p\)。
这是一个在约束条件下求最大值的问题。我们可以将这个问题转化为一个几何问题。 从方程 (1) 和 (2) 中，我们可以用 \(m\) 和 \(p\) 来表示 \(n\) 和 \(q\)（或者相反）。为了使目标函数 \(m+p\) 更直接，我们考虑在 \(m-p\) 平面上进行分析。 从 (1) 式得到 \(n = -p-6\)。 从 (2) 式得到 \(q = m-8\)。 将 \(n\) 和 \(q\) 的表达式代入第二个条件： \(\sqrt{m^2+(-p-6)^2} + \sqrt{p^2+(m-8)^2} = 26\) \(\sqrt{m^2+(p+6)^2} + \sqrt{(m-8)^2+p^2} = 26\)
这个方程有明确的几何意义。在 \(mp\)-平面上，令点 \(P=(m, p)\)。令两个焦点为 \(F_1=(0, -6)\) 和 \(F_2=(8, 0)\)。 方程可以写成 \(d(P, F_1) + d(P, F_2) = 26\)。 这是椭圆的定义：平面上到两个定点（焦点）的距离之和为常数的点的轨迹。 这个常数是椭圆的长轴长 \(2a_{e}\)，所以 \(2a_e = 26 \implies a_e=13\)。 两焦点之间的距离是 \(2c_e\)： \(2c_e = d(F_1, F_2) = \sqrt{(8-0)^2 + (0-(-6))^2} = \sqrt{8^2+6^2} = \sqrt{64+36} = \sqrt{100} = 10\)。 所以 \(c_e=5\)。 由于 \(a_e=13 > c_e=5\)，这确实是一个椭圆。 椭圆的短半轴长为 \(b_e = \sqrt{a_e^2 - c_e^2} = \sqrt{13^2-5^2} = \sqrt{169-25} = \sqrt{144} = 12\)。
问题转化成了：在上述定义的椭圆上，求 \(m+p\) 的最大值。 令 \(K = m+p\)。在 \(mp\)-平面上，方程 \(m+p=K\) 表示一族斜率为 \(-1\) 的平行直线。我们需要找到与椭圆相切且 \(K\) 值最大的那条直线。
为了找到这个最大值，我们可以使用椭圆的参数方程。 椭圆的中心是两焦点的中点：\(C = \left(\frac{0+8}{2}, \frac{-6+0}{2}\right) = (4, -3)\)。 主轴的方向向量是从 \(F_1\) 到 \(F_2\) 的向量，即 \(\vec{v} = (8, 6)\)。单位向量为 \(\vec{u}_{major} = \frac{1}{10}(8, 6) = (\frac{4}{5}, \frac{3}{5})\)。 短轴的方向向量与主轴垂直，单位向量为 \(\vec{u}_{minor} = (-\frac{3}{5}, \frac{4}{5})\)。
椭圆上任意一点 \(P(m,p)\) 的参数方程可以表示为： \(\begin{pmatrix} m \\ p \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \text{中心横坐标} \\ \text{中心纵坐标} \end{pmatrix} + a_e \cos\theta \cdot \vec{u}_{major} + b_e \sin\theta \cdot \vec{u}_{minor}\) \(\begin{pmatrix} m \\ p \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \end{pmatrix} + 13\cos\theta \begin{pmatrix} 4/5 \\ 3/5 \end{pmatrix} + 12\sin\theta \begin{pmatrix} -3/5 \\ 4/5 \end{pmatrix}\) 由此可得 \(m\) 和 \(p\) 的表达式： \(m = 4 + 13(\frac{4}{5})\cos\theta + 12(-\frac{3}{5})\sin\theta = 4 + \frac{52}{5}\cos\theta - \frac{36}{5}\sin\theta\) \(p = -3 + 13(\frac{3}{5})\cos\theta + 12(\frac{4}{5})\sin\theta = -3 + \frac{39}{5}\cos\theta + \frac{48}{5}\sin\theta\)
现在我们计算 \(m+p\)： \(m+p = (4-3) + \left(\frac{52}{5}+\frac{39}{5}\right)\cos\theta + \left(-\frac{36}{5}+\frac{48}{5}\right)\sin\theta\) \(m+p = 1 + \frac{91}{5}\cos\theta + \frac{12}{5}\sin\theta\)
为了求上式的最大值，我们使用 \(A\cos\theta+B\sin\theta\) 的最大值为 \(\sqrt{A^2+B^2}\) 的性质。 最大值 \(= 1 + \sqrt{\left(\frac{91}{5}\right)^2 + \left(\frac{12}{5}\right)^2}\) \(= 1 + \frac{1}{5}\sqrt{91^2 + 12^2}\) \(= 1 + \frac{1}{5}\sqrt{8281 + 144}\) \(= 1 + \frac{1}{5}\sqrt{8425}\) 我们注意到 \(8425\) 以 25 结尾，所以是 25 的倍数： \(8425 = 25 \times 337\)。 所以 \(\sqrt{8425} = \sqrt{25 \times 337} = 5\sqrt{337}\)。 代入得： \(m+p\) 的最大值 \(= 1 + \frac{1}{5}(5\sqrt{337}) = 1+\sqrt{337}\)。
因此，\(\operatorname{Re}(a+b)\) 的最大值为 \(1+\sqrt{337}\)。
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hbghlyj
posted 2025-6-8 00:26
