2020年全国卷2理科第15题 复数的模

isee

2020年全国卷2理科第15题

设复数$z_1$，$z_2$满足$|z_1|=|z_2|=2$，$z_1+z_2=\sqrt{3}+i$，则$|z_1-z_2|$=__________．


答：$\sqrt 3$

偶被其坑了，用代数形式硬算的，后来，在网上见到解答，$|z_1+z_2|=|z_1|=|z_2|=2$，再利用几何意义，或者三角形式，哎，瞬间不好了

facebooker

回复 1# isee

第一时间想到的是平行四边形法则公式 考过太多次了

isee

回复 2# facebooker


是的是的，刚刚想到这个，这也许才是出题人本意，具体如下：

一般情形，可以利用共轭复数处理，即用$$\abs{z}^2=z\bar z.$$

于是
$$\abs{z_1-z_2}^2=(z_1-z_2)\overline{(z_1-z_2)}=(z_1-z_2)(\bar{z_1}-\bar{z_2})=\abs{z_1}^2+\abs{z_2}^2-\left(z_1\bar{z_2}+\bar{z_1}z_2\right).$$
同样的
$$\abs{z_1+z_2}^2=(z_1+z_2)\overline{(z_1+z_2)}=(z_1+z_2)(\bar{z_1}+\bar{z_2})=\abs{z_1}^2+\abs{z_2}^2+\left(z_1\bar{z_2}+\bar{z_1}z_2\right).$$

两式相加，即

$$\abs{z_1+z_2}^2+\abs{z_1-z_2}^2=2\abs{z_1}^2+2\abs{z_2}^2.$$