证明四次方程的根的模长小于1

hbghlyj

Problems in Applied Mathematics, Chapter 17, page 529
Problem 69-5, A Quartic, by H. Holloway and M. S. Klamkin
$a,b>0$, $a+b<1$. 证明四次方程$$x^{4}+(1-b) x^{3}+\left(1-3 a-b+3 a^{2}+3 a b+b^{2}\right) x^{2}+b(2-3 a-2 b) x+b^{2}=0$$的根的模长小于1.

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方程左边可以因式分解为
\[
\begin{gathered}
\left\{x^2+\left[\omega(1-b)-\left(\omega+\omega^2\right) a\right] x+\omega b\right\}\\
\left\{x^2+\left[-\omega^2(1-b)+\left(\omega+\omega^2\right) a\right] x-\omega^2 b\right\}
\end{gathered}
\tag1\label1
\]
其中$\omega=(1+i \sqrt{3}) / 2$ ($-1$的立方根). 四个根为
\begin{gathered}
\frac{1}{2}\left\{\omega^2(1-b)-\left(\omega+\omega^2\right) a \pm\left[-\omega(1-b)^2-3 a^2+2(1+\omega) a(1-b)+4 \omega^2 b\right]^{1 / 2}\right\}\\
\frac{1}{2}\left\{-\omega(1-b)+\left(\omega+\omega^2\right) a \pm\left[\omega^2(1-b)^2-3 a^2+2\left(1-\omega^2\right) a(1-b)-4 \omega b\right]^{1 / 2}\right\}
\end{gathered}为证明它们模长小于1, 应用 Cauchy 的下面的定理 [M. Marden, Geometry of Polynomials, American Mathematical Society, Providence, R.I., 1966, p. 122]:

方程
\[
a_0+a_1 z+\cdots+a_n z^n=0, \quad a_n \neq 0,
\]
的根都属于圆盘 $|z| \le r$, 其中 $r$ 是方程
\[
\left|a_0\right|+\left|a_1\right| z+\cdots+\left|a_{n-1}\right| z^{n-1}-\left|a_n\right| z^n=0 .
\]的正根.

对于\eqref{1}的两个二次因式中的一个, $r$是
\[
b+\left|\omega(1-b)-\left(\omega+\omega^2\right) a\right| z-z^2=0
\]
的正根. 此即
\[
z^2=z\left\{\left(\frac{1-b}{2}\right)^2+3\left(\frac{1-b}{2}-a\right)\right\}^{1 / 2}+b .
\]
$r$将会小于1, 如果
\[
(1-b)^2>\left(\frac{1-b}{2}\right)^2+3\left(\frac{1-b}{2}-a\right)^2
\]
即
\[
3 a(1-b-a)>0
\]
对另一个二次因式同理.

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方程 \[ a_0+a_1 z+\cdots+a_n z^n=0, \quad a_n \neq 0,\tag1 \] 的根都属于圆盘 $|z| \le r$, 其中 $r$ 是方程 \[ \left|a_0\right|+\left|a_1\right| z+\cdots+\left|a_{n-1}\right| z^{n-1}-\left|a_n\right| z^n=0 .\tag{2} \]的正根.

证明(2)有一个正根(当$a_0\ne0$)

当$z=0$时,左边$=|a_0|>0$;当$z→+∞$时,左边$→-∞$.所以至少有一个正根. 当$z>0$时,方程化为\[ \frac{\left|a_0\right|}{z^n}+\frac{\left|a_1\right|}{z^{n-1}}+\cdots+\frac{\left|a_{n-1}\right|}z=\left|a_n\right| \]左边单减,所以至多有一个正根.

记(1)左边为$f(z)$,则 $$|f(z)| \ge\left|a_{n}\right||z|^{n}-\left(\left|a_{0}\right|+\left|a_{1}\right||z|+\cdots+\left|a_{n-1}\right||z|^{n-1}\right)\tag3$$当$|z|>r$时(3)右边$>0$,所以$f(z)≠0$,所以$f(z)$的根都属于圆盘 $|z| \le r$.

hbghlyj

方程
\[
a_0+a_1 z+\cdots+a_n z^n=0, \quad a_n \neq 0,\tag1
\]
的根都属于圆盘 $|z| \le r$, 其中 $r$ 是方程
\[
\left|a_0\right|+\left|a_1\right| z+\cdots+\left|a_{n-1}\right| z^{n-1}-\left|a_n\right| z^n=0 .\tag{2}
\]的正根.

设$r_1>r$, 则对 $|z|=r_1$有, $\left|a_0\right|+\left|a_1\right| z+\cdots+\left|a_{n-1}\right| z^{n-1}-\left|a_n\right| z^n<0$
所以$\left|a_nz^n\right|>\left|a_0+a_1z+\cdots+a_{n-1}z^{n-1}\right|$
根据Rouché's theorem, $a_nz^n$ 和 $a_0+a_1z+\cdots+a_{n-1}z^{n-1}+a_nz^n$ 在 $|z|<r_1$ 有相同个数的根, 而$a_nz^n$有$n$个根(都是$z=0$), 所以 $a_0+a_1z+\cdots+a_{n-1}z^{n-1}+a_nz^n$ 在 $|z|<r_1$ 的根个数为 $n$, 令$r_1→r$, 得到它的全部根属于 $|z|\le r$.

儒歇定理通常用于简化局部零点问题。给定一个解析函数，我们将其写为两部分，一部分比较简单且比增长要快于（从而控制）另一部分。例如，多项式 $z^5 + 3z^3 + 7$ 在圆盘 $|z| < 2$ 内恰有五个零点，因为对任何 $|z| = 2$ 有 $|3z^3 + 7| < 32 = |z^5|$，并且控制部分 $z^5$ 在圆盘内有五个零点。

总结这一论点的一种流行的、非正式的方式如下：如果一个人用皮带牵着狗绕着一棵树走，这样人与树之间的距离总是大于皮带的长度， 然后人和狗绕树绕树的次数相同。