系数正递增的多项式的根在单位圆内 Eneström-Kakeya Theorem

hbghlyj

The Enestrom-Kakeya Theorem and Some of Its Gereneralizations
Theorem 3 实系数$n$次多项式$p(z)=\sum_{j=0}^n a_j z^j$, $0 \leq a_0 \leq a_1 \leq \cdots \leq a_n$ 的根位于 $|z| \leq 1$.
Proof 定义 $f$ 为
\begin{aligned}
p(z)(1-z) &=a_0+\left(a_1-a_0\right) z+\left(a_2-a_1\right) z^2+\cdots+\left(a_n-a_{n-1}\right) z^n-a_n z^{n+1} \\
&=f(z)-a_n z^{n+1} .
\end{aligned}对 $|z|=1$, 我们有
\begin{aligned}
|f(z)| & \leq\left|a_0\right|+\left|a_1-a_0\right|+\left|a_2-a_1\right|+\cdots+\left|a_n-a_{n-1}\right| \\
&=a_0+\left(a_1-a_0\right)+\left(a_2-a_1\right)+\cdots+\left(a_n-a_{n-1}\right) \\
&=a_n .
\end{aligned}注意到$f(z)$的倒序系数多项式 $z^n f(1 / z)$ 与$f$有相同的界: 即 $\left|z^n f(1 / z)\right| \leq a_n$ 对于 $|z|=1$. 因为 $z^n f(1 / z)$ 在 $|z| \leq 1$ 解析, 由最大模原理, $\left|z^n f(1 / z)\right| \leq a_n$ 对于 $|z| \leq 1$. 因此, $|f(1 / z)| \leq a_n /|z|^n$ 对于 $|z| \leq 1$. 把 $z$ 换成 $1 / z$, 可见 $|f(z)| \leq a_n|z|^n$ 对于 $|z| \geq 1$. 由此得
\begin{aligned}
|(1-z) p(z)| &=\left|f(z)-a_n z^{n+1}\right| \\
& \geq a_n|z|^{n+1}-|f(z)| \\
& \geq a_n|z|^{n+1}-a_n|z|^n \\
&=a_n|z|^n(|z|-1) .
\end{aligned}因此, 若 $|z|>1$ 则 $(1-z) p(z) \neq 0$. 因此, $p$ 的根均位于 $|z| \leq 1$.

hbghlyj

设 $0<a_0≤a_1≤⋯≤a_n$, 证明：$p(z)=\sum_{j=0}^n a_j z^{n-j}$的根位于 $\abs{z}≥1$.

Proof:

当 $\abs{z}<1$ 时, 由$\left(a_n-a_{n-1}\right)\abs{z}≤a_n-a_{n-1},…,\left(a_1-a_0\right)\abs{z}^n≤a_1-a_0,a_0\abs{z}^{n+1}<a_0$可得 \begin{aligned} \abs{(1-z) P(z)} & =\abs{a_n+\left(a_{n-1}-a_n\right) z+⋯+\left(a_0-a_1\right) z^n-a_0 z^{n+1}} \\ &≥ a_n-\left(a_n-a_{n-1}\right)\abs{z}-⋯-\left(a_1-a_0\right)\abs{z}^n-a_0\abs{z}^{n+1} \\ &>a_n-\left(a_n-a_{n-1}\right)-⋯-\left(a_1-a_0\right)-a_0 \\ &=0 \end{aligned}因此当 $\abs{z}<1$ 时, $\abs{(1-z) P(z)}=\abs{1-z}>0$, 则 $P(z)$ 在圆 $\abs{z}<1$ 内无根.

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2022-12-30 15:20
本帖最后由 hbghlyj 于 2022-12-30 15:23 编辑
设 $0\lt a_0≤a_1≤⋯≤a_n$, 证明：$p(z)=\sum_{j=0}^n a_j  ...

这个证明好像比1#简单些