多项式在圆盘上的零点数

hbghlyj

H. Priestley Complex Analysis Exercise 15.13
整数$n≥3$, 多项式$z^n+nz-1$在$|z|<1+\sqrt{2\over n-1}$上有$n$个根.

根据代数基本定理, 多项式$z^n+nz-1$有$n$个根.
只需证明$z^n+nz-1$在$|z|\ge1+\sqrt{2\over n-1}$上有0个根.
对于$|z|\ge1+\sqrt{2\over n-1}$ 由二项式定理成立$$|z|^n\color{#f00}>1 + n(|z|-1) +\frac{n(n-1)}2(|z|-1)^2\ge1 + n(|z|-1) + n=1+n|z|$$
$$⇒|z|^n>1+n|z|$$
😀$$⇒z^n+nz-1≠0$$

Aluminiumor

红色的不等号由二项式定理成立。

hbghlyj

或者，用 Rouché 定理来证明 \(z^n + n z - 1 \) 在以 \( 0 \) 为中心、半径为 \( R = 1 + \sqrt{\frac{2}{n-1}} \) 的圆内有 \( n \) 个零点。

Rouché 定理指出，如果两个全纯函数 \( f \) 和 \( g \) 在简单闭轮廓 \( \gamma \) 上满足 \( |f(z)| > |g(z)| \)，则 \( f \) 和 \( f+g \) 在 \( \gamma \) 内的零点数量相同。

设 \( f(z) = z^n \).
设 \( g(z) = nz-1 \).
我们需要证明 \( |f(z)| > |g(z)| \) 在圆 \( |z| = R \) 上成立：

对于 \( |z| = R \)，\( |f(z)| = |z^n| = R^n \).
对于 \( |z| = R \)，\( |g(z)| = |n z - 1| \leq n |z| + 1 = n R + 1 \).

代入 \( R = 1 + \sqrt{\frac{2}{n-1}} \)：
\( |f(z)| = (1 + \sqrt{\frac{2}{n-1}})^n \)
\( |g(z)| \leq n (1 + \sqrt{\frac{2}{n-1}}) + 1 \)
我们需要证明 \((1 + \sqrt{\frac{2}{n-1}})^n>n (1 + \sqrt{\frac{2}{n-1}}) + 1\)

由二项式定理成立 \((1 + \sqrt{\frac{2}{n-1}})^n>1+n\sqrt{\frac{2}{n-1}}+\frac{n(n-1)}2(\sqrt{\frac{2}{n-1}})^2=n (1 + \sqrt{\frac{2}{n-1}}) + 1\).😀

hbghlyj

综上所述，第一种方法利用了代数基本定理，第二种方法利用了Rouché定理，但它们似乎是等价的，因为我们可以利用Rouché定理推导出代数基本定理