锐角三角形的三角不等式证明

郝酒

锐角三角形ABC，证明以下结论
① $\sum \cos^2 A\cos^2 B\leq \frac{1}{4}\sum \cos^2 A$
②$\sum \frac{\cos^2 A}{\cos^2 B}\geq 4\sum \cos^2 A$

kuing

① 令 `D=\pi-2A`, `E=\pi-2B`, `F=\pi-2C`，则 `D`, `E`, `F\in(0,\pi)`, `D+E+F=\pi`，所以 `D`, `E`, `F` 构成三角形的三个内角，有
\[\cos A=\cos\frac{\pi-D}2=\sin\frac D2,\]
原不等式等价于
\[\sum\sin^2\frac D2\sin^2\frac E2\leqslant\frac14\sum\sin^2\frac F2,\]
令 `\triangle DEF` 的三边为 `DE=x+y`, `EF=y+z`, `FD=z+x`，则有 `x`, `y`, `z>0` 且有
\[\sin\frac D2=\frac{yz}{(z+x)(x+y)}\]
等三式，所以
\begin{align*}
\sum\sin^2\frac D2\sin^2\frac E2&=\sum\frac{xyz^2}{(x+y)^2(y+z)(z+x)}\\
&\leqslant\frac14\sum\frac{z^2}{(y+z)(z+x)}\\
&=\frac14\sum\frac{xy}{(y+z)(z+x)}\\
&=\frac14\sum\sin^2\frac F2,
\end{align*}
即得证；

② 由柯西及 ① 得
\[\sum\frac{\cos^2A}{\cos^2B}\geqslant\frac{\left(\sum\cos^2A\right)^2}{\sum\cos^2A\cos^2B}\geqslant\frac{\left(\sum\cos^2A\right)^2}{\frac14\sum\cos^2A}=4\sum\cos^2A.\]

郝酒

谢谢ku版，锐角三角形这个条件不知道如何想，你这样一处理，很精巧。

kuing

郝酒 发表于 2024-5-4 11:06
谢谢ku版，锐角三角形这个条件不知道如何想，你这样一处理，很精巧。

我才想起来，其实在《撸题集》P.426~427 题目 4.6.6 里就证过了😅……
里面的证法二感觉更好一些，也是锐角三角形的一种处理方法。