ABC中，求证：$\frac{1}{\tan A}+\frac{1}{\tan B}+\frac{1}{\tan C}\geq\sqrt{3}$

郝酒

RT,感觉不难，但是思维卡住了。感觉要用$\tan A+\tan B +\tan C=\tan A\tan B\tan C$.

爪机专用

显然要限制为锐角三角形，就是用那个式子，右边均值就行了

郝酒

啊，ku版原谅我，写错啦，是证$\frac{1}{\tan A}+\frac{1}{\tan B}+\frac{1}{\tan C}\geq\sqrt{3}$

kuing

郝酒 发表于 2024-1-3 17:59
啊，ku版原谅我，写错啦，是证$\frac{1}{\tan A}+\frac{1}{\tan B}+\frac{1}{\tan C}\geq\sqrt{3}$ ...

那干嘛不写 cot 呢？还避免了直角的问题，由 `(x+y+z)^2\ge3(xy+yz+zx)`（`\forall x`, `y`, `z\inR`）得
\[(\cot A+\cot B+\cot C)^2\ge3(\cot A\cot B+\cot B\cot C+\cot C\cot A)=3,\]
然后说明一下 `\cot A+\cot B+\cot C` 必为正即可，如果有钝角，比如 `C>90\du`，则 `A<180\du-C`，得 `\cot A>-\cot C`。

郝酒

谢谢ku版，理解了。

isee

kuing 发表于 2024-1-3 19:07
那干嘛不写 cot 呢？还避免了直角的问题，由 `(x+y+z)^2\ge3(xy+yz+zx)`（`\forall x`, `y`, `z\inR`）得 ...

这个处理“正”简洁，将知乎提问区的发过来.

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题 ：在三角形 ABC 中求 $\cot A+\cot B+\cot C$ 的最小值.

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熟知在三角形 ABC 中 $\cot A\cot B+\cot B\cot C+\cot C\cot A=1$，于是

\begin{align*}
&\quad\;(\cot A+\cot B+\cot C)^2\\[1em]
&\geqslant 3(\cot A\cot B+\cot B\cot C+\cot C\cot A)\\[1em]
&=3
\end{align*}

另一方面

\begin{align*}
&\quad\;\cot A+\cot B+\cot C\\[1em]
&=2R\cdot \left(\frac {\cos A}a+\frac {\cos B}b+\frac {\cos C}c\right)\\[1em]
&=2R\cdot \frac {bc\cos A+ac\cos b+ab\cos c}{abc}\\[1em]
&=R\cdot \frac {a^2+b^2+c^2}{abc}\\[1em]
&>0
\end{align*}

所以 $\cot A+\cot B+\cot C\geqslant \sqrt 3.$



后记：由以上，进一步知

\begin{align*}
\cot A+\cot B+\cot C&=\frac {a^2+b^2+c^2}{4abc/4R}\\[1em]
&=\frac {a^2+b^2+c^2}{4S}
\end{align*}

这样就证得经典的 $a^2+b^2+c^2\geqslant 4\sqrt 3S$ 了…

lihpb

这里是加强的.
forum.php?mod=viewthread&tid=11846&extra=#pid57412