$\sum_{cyc}\frac{1+\cos A}{\cos B+\cos C}\geq \frac92$

isee

源自知乎提问

求证： $\frac{1+\cos A}{\cos B+\cos C}+\frac{1+\cos B}{\cos C+\cos A}+\frac{1+\cos C}{\cos A+\cos B}\geqslant \frac92.$

综合知乎 sid 的回答，kuing 的点评，直接用 Cauchy 不等式即有

记 $X=\cos A+\cos B+\cos C\leqslant \frac32$ ，则 \begin{align*}
&\quad\;\frac{1+X}{\cos B+\cos C}+\frac{1+X}{\cos C+\cos A}+\frac{1+X}{\cos A+\cos B}\\[1ex]
&\geqslant \frac{\big(3\sqrt{1+X}\big)^2}{2X}\\[1ex]
&=\frac92\Big(1+\frac1X\Big)\\[1ex]
&\geqslant \frac{15}2,\\[1ex]
\Rightarrow & \frac{1+\cos A}{\cos B+\cos C}+\frac{1+\cos B}{\cos C+\cos A}+\frac{1+\cos C}{\cos A+\cos B}\\[1ex]
&\geqslant \frac92.
\end{align*}




原解：此答并无新意...主「收」题，观察到 A=B=C 时不等式取等号…

首先由「在 △ABC 中，求证：cos A + cos B + cos C ≤ 1.5」的结论可知，
$\big(\frac\pi2-\frac A2\big)+\big(\frac\pi2-\frac B2\big)+\big(\frac\pi2-\frac C2\big)=\pi$ ，则
\begin{align*}
&\quad\;\sin\frac A2+\sin\frac B2+\sin\frac C2\\[1ex]
&=\cos\big(\frac\pi2-\frac A2\big)+\cos\big(\frac\pi2-\frac B2\big)+\cos\big(\frac\pi2-\frac C2\big)\\[1ex]
&\leqslant \frac32.
\end{align*} 而由分母和差化积，分子倍角公式，并利用 cos x<=1 有界知 \begin{align*}
&\quad\;\frac{1+\cos A}{\cos B+\cos C}+\sin\frac A2\\[1ex]
&=\frac{\cos^2\frac A2}{\cos \frac{B+C}2\cos\frac{B-C}2}+\sin\frac A2\\[1ex]
&\geqslant \frac{\cos^2\frac A2}{\sin\frac A2}+\frac{\sin^2\frac A2}{\sin\frac A2}=\frac 1{\sin\frac A2},
\end{align*} 从而轮换字母 $A\mapsto B,\,B\mapsto C,\,C\mapsto A$ 便有\begin{align*}
\sum_{cyc}\left(\frac{1+\cos A}{\cos B+\cos C}+\sin\frac A2\right)&\geqslant \sum_{cyc}\frac1{\sin \frac A2}\\[1ex]
(\text{Cauchy})\quad&\geqslant \frac{9}{\sin \frac A2+\sin \frac B2+\sin \frac C2}\\[1ex]
&\geqslant 6\\[1ex]
\Rightarrow \sum_{cyc}\frac{1+\cos A}{\cos B+\cos C}&\geqslant 6- \sum_{cyc}\sin \frac A2\\[1ex]
&\geqslant\frac 92.
\end{align*} 以上取等条件全部为 $A=B=C$ 即正三角形 ABC.

kuing

最好先简略说明一下各分母恒正。

还可以这么来 CS：
\begin{align*}
\sum\frac{1+\cos A}{\cos B+\cos C}&\geqslant\frac{\left(3+\sum\cos A\right)^2}{\sum(1+\cos A)(\cos B+\cos C)}\\
&=\frac{\left(3+\sum\cos A\right)^2}{2\sum\cos A+2\sum\cos A\cos B}\\
&\geqslant\frac{\left(3+\sum\cos A\right)^2}{2\sum\cos A+\frac23\left(\sum\cos A\right)^2}\\
&=\frac32\left(\frac3{\sum\cos A}+1\right)\\
&\geqslant\frac92.
\end{align*}

isee

kuing 发表于 2023-3-28 16:52
最好先简略说明一下各分母恒正。

还可以这么来 CS：

也不错，这三种方式均是统一一分子


这个入手点个人感觉是很宽，按 A=B=C 方向放大差不差，但这个其于三角形中常见的三角不等式😀

kuing

还可以这样玩，记 `x=\cos B+\cos C` 等三式，则 `x`, `y`, `z>0`, `x+y+z\leqslant3`，于是
\[\frac{1+\cos A}{\cos B+\cos C}\geqslant\frac{\frac13(x+y+z)+\frac12(y+z-x)}x=\frac56\cdot\frac{y+z}x-\frac16,\]
求和后均值即得。

isee

kuing 发表于 2023-3-28 17:15
还可以这样玩，记 `x=\cos B+\cos C` 等三式，则 `x`, `y`, `z>0`, `x+y+z\leqslant3`，于是
\[\frac{1+\co ...

这么一看，我那解法完全是幸运，也可以说是“特立独行”