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kuing
Posted at 2025-3-13 16:20:26
分母是 11 的完整结论昨晚我在 kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread& … &page=2#pid65242 写完了。
分母是 9 的也可以用此法，下面先证明：
设 `k\inZ` 且 `3\nmid k`，则有
\[\tan\frac{k\pi}9+4\sin\frac{8k\pi}9=8\sin\frac{2k\pi}9\sin\frac{4k\pi}9\sin\frac{8k\pi}9.\]
证明：记 `x=\cos(2k\pi/9)+i\sin(2k\pi/9)`，则 `x^9=1`，因式分解为 `(x^3-1)(x^6+x^3+1)=0`，由 `3\nmid k` 知 `x^3\ne1`，所以有
\[x^6+x^3+1=0,\]
对 `m\inZ`，有
\[\sin\frac{2mk\pi}9=\frac{x^m-x^{-m}}{2i},~\cos\frac{2mk\pi}9=\frac{x^m+x^{-m}}2,\]
所以
\[\tan\frac{k\pi}9=\frac{\sin\frac{2k\pi}9}{1+\cos\frac{2k\pi}9}=\frac{\frac{x-x^{-1}}{2i}}{1+\frac{x+x^{-1}}2}=\frac1i\cdot\frac{x-1}{x+1},\]
故待证式等价于
\[\frac1i\cdot\frac{x-1}{x+1}+4\cdot\frac{x^4-x^{-4}}{2i}=\frac{(x-x^{-1})(x^2-x^{-2})(x^4-x^{-4})}{i^3},\]
即证
\[\frac{x-1}{x+1}+2(x^4-x^{-4})=-(x-x^{-1})(x^2-x^{-2})(x^4-x^{-4}),\]
利用 `x^9=1`，有
\begin{align*}
\LHS&=\frac{x-x^9}{x+1}+2(x^4-x^5)\\
&=x-x^2+x^3-x^4+x^5-x^6+x^7-x^8+2(x^4-x^5)\\
&=x-x^2+x^3+x^4-x^5-x^6+x^7-x^8,\\
\RHS&=-x^7+\frac1{x^7}+x^5-\frac1{x^5}+x^3-\frac1{x^3}-x+\frac1x\\
&=-x^7+x^2+x^5-x^4+x^3-x^6-x+x^8,
\end{align*}
所以
\begin{align*}
\LHS-\RHS&=2(x+x^4+x^7-x^2-x^5-x^8)\\
&=2(x-x^2)(1+x^3+x^6)=0,
\end{align*}
即得证。
然后利用诱导公式不难得出
\[\sin\frac{2k\pi}9\sin\frac{4k\pi}9\sin\frac{8k\pi}9=
\led
&\sin\frac\pi9\sin\frac{2\pi}9\sin\frac{4\pi}9,&&k\bmod3=1,\\
&{-}\sin\frac\pi9\sin\frac{2\pi}9\sin\frac{4\pi}9,&&k\bmod3=2,
\endled\]
根据链接中说过的 `2^n\sin\frac\pi{2n+1}\sin\frac{2\pi}{2n+1}\cdots\sin\frac{n\pi}{2n+1}=\sqrt{2n+1}`，有
\[2^4\sin\frac\pi9\sin\frac{2\pi}9\sin\frac{3\pi}9\sin\frac{4\pi}9=\sqrt9\riff\sin\frac\pi9\sin\frac{2\pi}9\sin\frac{4\pi}9=\frac{\sqrt3}8,\]
所以
\[\tan\frac{k\pi}9+4\sin\frac{8k\pi}9=
\led
&\sqrt3,&&k\bmod3=1,\\
&{-}\sqrt3,&&k\bmod3=2.
\endled\] |
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