多焦点椭圆是凸集

hbghlyj

平面上$n$个点$(u_i,v_i)$，证明到它们距离之和为$d$的点的集合是凸的？\[\left\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}:\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {(x-u_{i})^{2}+(y-v_{i})^{2}}}=d\right\}.\]

找了2个资料：
k-ellipse
N-ellipse
似乎没有写出凸性的证明

hbghlyj

懂了。$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$属于这集合，则$∑|(x_1,y_1)-(u_i,v_i)|=d$，$∑|(x_2,y_2)-(u_i,v_i)|=d$
由三角不等式
$∑|λ(x_1,y_1)+(1-λ)(x_1,y_1)-(u_i,v_i)|\le∑λ|(x_1,y_1)-(u_i,v_i)|+∑(1-λ)|(x_1,y_1)-(u_i,v_i)|=d$
所以这集合是凸的。
由此推出，到$n$点距离之和的最小值点唯一（$n=2$中点，$n=3$费马点）

hbghlyj

改成“乘积=d”呢？
$\left\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}:\prod_{i=1}^{n}{\sqrt {(x-u_{i})^{2}+(y-v_{i})^{2}}}=d\right\}$不一定是凸的。
当$n=2$，是Cassini oval仅当$ e ≥ \sqrt2$时是凸的 (convex).

问题：如何证明当$d$足够大时是凸的？即：
给定$(u_i,v_i)$，存在$D$使得对任意$d>D$，$\left\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}:\prod_{i=1}^{n}{\sqrt {(x-u_{i})^{2}+(y-v_{i})^{2}}}=d\right\}$是凸的