这个三元不等式如何证

lemondian

已知$a,b,c>0$，且$a^2+b^3+c^4\geqslant a^3+b^4+c^5$，求证：$a^2+b^2+c^2\leqslant 3$

kuing

没什么难度，显然 `b^2-b^3\geqslant b^3-b^4` 且 `c^2-c^3\geqslant c^4-c^5`，所以
\[a^2-a^3+b^2-b^3+c^2-c^3\geqslant a^2-a^3+b^3-b^4+c^4-c^5\geqslant0,\]
即
\[a^2+b^2+c^2\geqslant a^3+b^3+c^3,\]
那么
\[\left(\frac{a^2+b^2+c^2}3\right)^2\geqslant\left(\frac{a^3+b^3+c^3}3\right)^2\geqslant\left(\frac{a^2+b^2+c^2}3\right)^3,\]
所以 `a^2+b^2+c^2\leqslant3`。

lemondian

已知$a,b,c>0$，且$a^2+b^3+c^4\geqslant a^3+b^4+c^5$，求证：
（1）$a^3+b^3+c^3\leqslant 3$；
（2）$a^4+b^4+c^4\leqslant 3$；
（3）$a^5+b^5+c^5\leqslant 3$；
（4）这个不等式$a^n+b^n+c^n\leqslant 3$成立的$n$的最大值是多少？

1+1=？

lemondian 发表于 2025-6-5 08:09
已知$a,b,c>0$，且$a^2+b^3+c^4\geqslant a^3+b^4+c^5$，求证：
（1）$a^3+b^3+c^3\leqslant 3$；
（2）$a^ ...

这个不等式$a^n+b^n+c^n\leqslant 3$成立的$n$的最大值是约大于$\frac{56+\sqrt{3}}{10}$的一个级数

1+1=？

在此条件下又给出三个式子
（1）$(a-\frac{1}{2})^2+(b-\frac{1}{2})^2+(c-\frac{1}{2})^2\leqslant \frac{3}{4}$；
（2）$(a-\frac{1}{2})^3+(b-\frac{1}{2})^3+(c-\frac{1}{2})^3\leqslant \frac{3}{8} $；
（3）$a^2+b^2+\frac{1}{2}c^2\leqslant 1+ab+c$；本来第三个不等式能双取等的，但是时间不够了😔，所以没有改进，只能单取等

1+1=？

(4).$a^2+b^2+\frac{1}{4c+2}\leqslant \frac{3}{2}+ab$又加了一个

1+1=？

1+1=？ 发表于 2025-6-5 22:55
在此条件下又给出三个式子
（1）$(a-\frac{1}{2})^2+(b-\frac{1}{2})^2+(c-\frac{1}{2})^2\leqslant \frac{ ...

QQ简单导数群中的群友Γ给出了一个简洁的配凑证法，但只给了前三个，应该这七个结论不等式都可以通过配凑法证明，可能会用到符号软件辅助。