求证 $(1+2n)^n\geqslant 1^n+2^n+4^n+\cdots+(2n)^n$

isee

网友发的一道题，我卡住了：(所以也想不到合适的标签，先空着吧)

若 $n$ 为正整数，求证：$(1+2n)^n\geqslant 1^n+2^n+4^n+6^n+8^n+\cdots+(2n)^n$.

kuing

直接验证知 `n=1`, `2` 时不等式成立，当 `n\geqslant3` 时，不等式等价于
\[\left(\frac1{2n}+1\right)^n-\left(\frac1{2n}\right)^n\geqslant\left(\frac1n\right)^n+\left(\frac2n\right)^n+\cdots+\left(\frac{n-1}n\right)^n+1,\]
显然左边关于 `n` 递增，故
\[\LHS\geqslant\left(\frac16+1\right)^3-\left(\frac16\right)^3=\frac{19}{12},\]
而曾经一道老题（链接懒得找）证明过
\[\RHS<\frac e{e-1},\]
所以只需证明 `e>19/7=2.714\ldots`，显然成立，即得证。

isee

kuing 发表于 2023-4-21 15:15
直接验证知 `n=1`, `2` 时不等式成立，当 `n\geqslant3` 时，不等式等价于
\[\left(\frac1{2n}+1\right)^n- ...

如

两个数列不等式求证
kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=2890&fromuid=15
(出处: 悠闲数学娱乐论坛(第3版))

(0,1]等距离取n个点的n次方和的极限
kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=8630&fromuid=15
(出处: 悠闲数学娱乐论坛(第3版))

知乎也有个类似的 zhihu.com/question/593249115

isee

kuing 发表于 2023-4-21 15:15
直接验证知 `n=1`, `2` 时不等式成立，当 `n\geqslant3` 时，不等式等价于
\[\left(\frac1{2n}+1\right)^n- ...

还得是你呀，多谢了，总觉得绕不开极限，就没深思，其次，将(1/2n)^n 放右边确实是好手~