两个数列不等式求证

似水无痕

1题.证明：对任意正整数n有

2题证明对自然数m≥n≥1, 有

kuing

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当然，你也可以试试用代码写公式

似水无痕

tommywong

$\displaystyle \sum_{i=1}^n (\frac{i}{n})^n = \sum_{i=0}^{n-1} (1-\frac{i}{n})^n \le \sum_{i=0}^{n-1} e^{-i} = \frac{e^{-n}-1}{e^{-1}-1} < \frac{e}{e-1}$

战巡

回复 3# 似水无痕

之前搞错了，重新来过

第一个左边：
\[\sum_{i=1}^n(\frac{i}{n})^n=\sum_{i=0}^{n-1}(1-\frac{i}{n})^n\]
令$\frac{1}{n}=x$，有：
\[\sum_{i=0}^{n-1}(1-\frac{i}{n})^n=\sum_{i=0}^{n-1}(1-ix)^\frac{1}{x}\]
\[=\sum_{i=0}^{n-1}[e^{-i}-\frac{e^{-i}i^2x}{2}+o(x)]=\sum_{i=0}^{n-1}[e^{-i}-\frac{e^{-i}i^2}{2n}+o(\frac{1}{n})]\]
\[\ge\sum_{i=0}^{n-1}[e^{-i}-\frac{e^{-i}i^2}{2n}]\]
\[=\frac{e}{e-1}-\frac{e(e+1)}{2(e-1)^3}·\frac{1}{n}+\frac{(e-1)^2(n-2)+2(e-1)+(e+1)\frac{1}{n}}{2(e-1)^3e^{n-1}}\]
当$n\ge 2$就有
\[\ge\frac{e}{e-1}-\frac{1}{n}\]

tommywong

回复 5# 战巡

は？
$\displaystyle \sum_{i=0}^{n-1} (1-\frac{i}{n})^{n-1} (1-\frac{i}{n}) \ge \sum_{i=0}^{n-1} e^{-i} (1-\frac{i}{n})$

似水无痕

回复 5# 战巡
原来如此，真难想到。第二题呢？

其妙

回复 4# tommywong
右边比较好证明