求帮忙看看这道极限题，或者不知道是否是题目本身有误？

Asuka_Pamina

已知 $$\lim_{n \to \infty} (x_n - x_{n-2})=0$$ 证明 $$\lim_{n \to \infty} \frac{x_n - x_{n-1}}{n} = 0$$
题目来自于 Stolz定理及其应用-知乎专栏这篇专栏里的Q3，用stolz定理后转化为已知$$|x_n - x_{n-2}| < \epsilon$$, 要求解 $$|(x_n - x_{n-1}) - (x_{n-1} - x_{n-2})| < \epsilon$$，不过后面就没思路了......怀疑是我自己太菜还是题目有问题，本人数学菜鸡，恳请大佬指点.....

kuing

那啥定义我不会，但题应该正确，我尝试用定义证一下（高数方面我也是菜鸡😁希望没错）。

由条件 `\forall\veps>0`, `\exists N\inN^+`, `\forall n>N`, `\abs{x_n-x_{n-2}}<\veps`。

取 `n=N+2`, `N+4`, `\ldots`, `N+2k` 求和得
\[k\veps>\abs{x_{N+2}-x_N}+\abs{x_{N+4}-x_{N+2}}+\cdots+\abs{x_{N+2k}-x_{N+2k-2}}\geqslant\abs{x_{N+2k}-x_N},\]
所以有
\[k\veps>\abs{x_{N+2k}-x_N},\]
同理，取 `n=N+1,N+3,\ldots,N+2k-1` 则可得
\[k\veps>\abs{x_{N+2k-1}-x_{N-1}},\]
相加得
\[2k\veps>\abs{x_{N+2k}-x_N}+\abs{x_{N+2k-1}-x_{N-1}}\geqslant\abs{x_{N+2k}-x_N-(x_{N+2k-1}-x_{N-1})},\]
即
\[\abs{(x_{N+2k}-x_{N+2k-1})-(x_N-x_{N-1})}<2k\veps,\]
则
\[\left|\frac{x_{N+2k}-x_{N+2k-1}}{N+2k}-\frac{x_N-x_{N-1}}{N+2k}\right|<\frac{2k}{N+2k}\veps<\veps,\]
所以
\[\left|\frac{x_{N+2k}-x_{N+2k-1}}{N+2k}\right|<\left|\frac{x_N-x_{N-1}}{N+2k}\right|+\veps,\]
而显然 `k` 无穷大时 `\frac{x_N-x_{N-1}}{N+2k}\to0`，即 `\forall\veps'>0`, `\exists N'\inN^+`, `\forall2k>N'`, `\left|\frac{x_N-x_{N-1}}{N+2k}\right|<\veps'`，所以
\[\left|\frac{x_{N+2k}-x_{N+2k-1}}{N+2k}\right|<\veps'+\veps,\]
同理，如果开头取 `n=N+3`, `N+5`, `\ldots`, `N+2k+1` 及 `n=N+2`, `N+4`, `\ldots`, `N+2k` 则上式的 `N` 就变成 `N+1`，所以对任意 `n>N+N'` 都有
\[\left|\frac{x_n-x_{n-1}}n\right|<\veps'+\veps,\]
右边 `\veps'`, `\veps` 都是任意的，所以 `\veps'+\veps` 也是任意的，由定义知极限为零。

Asuka_Pamina

kuing 发表于 2024-3-24 02:53
那啥定义我不会，但题应该正确，我尝试用定义证一下（高数方面我也是菜鸡😁希望没错）。

由条件 `\forall\ ...

感谢你的回复，这确实是一个很好的思路。不过后来我发现确实可以直接分奇偶用stolz定理来证明，想出来后感觉之前的自己太逗了😂😂。证明过程如下：
考虑$n=2k$的情形，运用stolz定理，则有$$\lim_{k \to \infty} \frac{x_{2k}-x_{2k-1}}{2k}=\lim_{k \to \infty} \frac{(x_{2k}-x_{2k-1})-(x_{2k-2}-x_{2k-3})}{2k-2(k-1)} = \frac{1}{2}\lim_{k \to \infty}[(x_{2k}-x_{2k-2})-(x_{2k-1}-x_{2k-3})]=0$$
然后考虑$n=2k+1$的情形，也就是类似的过程，运用stolz定理，则有$$\lim_{k \to \infty} \frac{x_{2k+1}-x_{2k}}{2k+1}=\lim_{k \to \infty} \frac{(x_{2k+1}-x_{2k})-(x_{2k-1}-x_{2k-2})}{2k+1-(2k-1)} = \frac{1}{2}\lim_{k \to \infty}[(x_{2k+1}-x_{2k-1})-(x_{2k}-x_{2k-2})]=0$$
综合以上两种情形可知 $$\lim_{n \to \infty} \frac{x_{n}-x_{n-1}}{n}=0$$

战巡

\[||x_{n}-x_{n-1}|-|x_{n-1}-x_{n-2}||\le |(x_{n}-x_{n-1})+(x_{n-1}-x_{n-2})|<\epsilon\]
这个说明
\[\lim_{n\to\infty}||x_{n}-x_{n-1}|-|x_{n-1}-x_{n-2}||=0\]
然后O'Stolz定理就有
\[\lim_{n\to\infty}\frac{|x_{n}-x_{n-1}|}{n}=0\]