求极限

APPSYZY

设 $f(x)$ 在点 $x=1$ 附近有定义，$f(1)=0, f'(1)=2$ ，求 $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(\sin ^2 x+\cos x) \tan 4 x}{(e^{x^2}-1) \sin x}$

APPSYZY

错误的原因是，题目并没有告诉f'(x)在x=1处连续，所以不能乱用洛必达法则，具体怎么解还请高人指点。

kuing

\begin{align*}
\text{原式}&=\lim_{x\to0}\frac{f(\sin^2x+\cos x)-f(1)}{\sin^2x+\cos x-1}\cdot\frac{(\sin^2x+\cos x-1)\tan4x}{(e^{x^2}-1)\sin x}\\
&=f'(1)\cdot\lim_{x\to0}\frac{\cos x\tan(x/2)\tan4x}{e^{x^2}-1}\\
&=f'(1)\cdot\lim_{x\to0}\frac{2x^2}{e^{x^2}-1}\\
&=2f'(1).
\end{align*}