递推数列极限

Shiki

$a_1＝1,a_2＝\frac {5}{4},a_{n}=\frac{(2n＋3)a_{n-1}+(2n-3)a_{n-2}}{2n}$

求n趋于正无穷时$a_n$的极限

Infinity

确认公式没打错吗？数列发散，不存在极限。不过应该可以找到母函数，但是MMA只会用超几何级数（这个级数几乎可以表示很多初等和超越函数，比如雅可比椭圆函数，Gamma函数等等）来表示解，很明显结果是有理数，这说明系数是一些超几何级数的代数和，最后收敛到某个有理数，因此母函数应该可以进一步化简，化简后可能能找到简单一点的通项公式。

1. RecurrenceTable[{a[
2.      n] == ((2 n + 3) a[n - 1] + (2 n - 3) a[n - 2])/(2 n), a[1] == 1,
3.     a[2] == 5/4}, a, {n, 1, 24}]
4. r1 = %// N
5. Sol = DSolve[{2 (x^2 + x - 1) y'[x] + (x + 5) y[x] + 12 == 0,
6.     y[0] == -2}, y[x], x] // Simplify
7. f[x_] = y[x] /. Sol;
8. r2 = Table[SeriesCoefficient[f[x], {x, 0, n}], {n, 1, 24}] // N // Flatten
9. Equal[r1, r2] (* 判断结果是否相等 *)

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{1., 1.25, 2.375, 4.04688, 6.92344, 11.6895, 19.6342, 32.8133, 54.644, 90.7318, 150.297, 248.474, 410.099, 675.891, 1112.57, 1829.4, 3005.22, 4932.6, 8089.98, 13259.4, 21718.6, 35554.8, 58175.7, 95144.3}

Infinity

验证微分方程级数解是母函数：

1. AsymptoticDSolveValue[{2 (x^2 + x - 1) y'[x] + (x + 5) y[x] + 12 == 0,
2.    y[0] == -2}, y[x], {x, 0, 24}]
3. % // N

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Infinity

n趋于无穷时，$a_n$的渐近表达为

1. AsymptoticRSolveValue[
2. a[n] == ((2 n + 3) a[n - 1] + (2 n - 3) a[n - 2])/(2 n),
3. a[n], {n, Infinity, 1}]

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\[C_1 n^{\frac{3 \left(-\sqrt{5}-5\right)}{10 \left(\sqrt{5}-1\right)}} \left(\frac{3 \left(-\sqrt{5}-19\right)}{40 \left(3 \sqrt{5}-5\right) n}+1\right) \left(\frac{1}{2} \left(1-\sqrt{5}\right)\right)^n+C_2 n^{\frac{3 \left(5-\sqrt{5}\right)}{10 \left(\sqrt{5}+1\right)}} \left(\frac{3 \left(19-\sqrt{5}\right)}{40 \left(3 \sqrt{5}+5\right) n}+1\right) \left(\frac{1}{2} \left(\sqrt{5}+1\right)\right)^n\]

hbghlyj

Infinity 发表于 2019-12-30 10:06
n趋于无穷时，$a_n$的渐近表达为

如何证明