一个数列问题

战巡

已知数列$\{a_n\}$，$a_0=1,a_1=2,a_2=2$，对于$n\ge 3$，都有
\[a_{n}=2a_{n-1}a_{n-2}-a_{n-3}\]
求通项

Aluminiumor

电脑不在手边，先用手机码一下结果：
记b_n=(2+sqrt{3})^F_n  (F_n表示斐波那契数列)
则a_n=(b_n+1/b_n)/2
可以看出解答核心是双曲余弦。

hbghlyj

战巡 发表于 2024-2-12 11:55
我其实知道结果，列几项之后直接看出

WolframAlpha列几项：

Aluminiumor 发表于 2024-2-12 08:28
电脑不在手边，先用手机码一下结果：
记b_n=(2+sqrt{3})^F_n  (F_n表示斐波那契数列)
则a_n=(b_n+1/b_n)/2

$a_n=\cosh(\log(b_n))$
$\log(b_n)=F_nC,C=\log(2+\sqrt{3})$

將$\begin{aligned}\alpha&= F_{n-1}C\\\beta&= F_{n-2}C\end{aligned}$代入$\cosh(\alpha+\beta) + \cosh(\alpha−\beta) =2\cosh(\alpha)\cosh(\beta)$得
$$\cosh(F_{n}C) + \cosh(F_{n-3}C) = 2\cosh(F_{n-1}C)\cosh(F_{n-2}C)$$
即
$$a_n+a_{n-3}=2a_{n-1}a_{n-2}$$

战巡

我其实知道结果，列几项之后直接看出
\[a_n=(2+\sqrt{3})^{F_n}+(2-\sqrt{3})^{F_n}\]
如果知道这个，反过来证明那个递推很容易

我发上来是就想看看有没有正面攻破的办法