$\sqrt{\frac{a_{n+1}+a_n}2}=\frac{a_{n+1}-a_n}2$ 若 $a_1=2$ 则 $a_n=$

isee

源自知乎提问


题：数列 $\{a_n\}$ 满足 $\displaystyle\sqrt{\frac{a_{n+1}+a_n}2}=\frac{a_{n+1}-a_n}2$ ，若 $a_1=2$ ，则 $a_n=$ ____.

首先为根号的非负性，易知 $a_2=6$， $a_{n+1}>a_n$ 即 $\{a_n\}$ 为增数列，所以 $a_n>a_1=2>0.$

两边平方整理为 \[a_{n+1}^2-2(a_n+1)a_{n+1}+a_n^2-2a_n=0,\]解关于 $a_{n+1}$ 的一元二次方程 \begin{align*}
a_{n+1}=a_n+1\color{blue}\pm\sqrt{4a_n+1},
\end{align*} 若取负号，则取 n=1，有 $a_2=0$ 与 $a_2>0$ 矛盾，于是仅有 \[a_{n+1}=a_n+1\color{red}+\sqrt{4a_n+1},\tag{01}\] 令 \[\sqrt{4a_n+1}=b_n,\Rightarrow a_n=\frac{b_n^2-1}4,\] 从而 $(01)$ 式化为 \begin{gather*}
\frac{b_{n+1}^2-1}4=\frac{b_n^2-1}4+1+b_n,\\[1ex]
b_{n+1}^2=(b_n+2)^2,\\[1ex]
b_{n+1}=b_n+2,
\end{gather*} 这表明 $\sqrt{4a_n+1}$ 为 AP，于是 \begin{gather*}
\sqrt{4a_n+1}=\sqrt{4a_1+1}+(n-1)\times 2=2n+1,\\[1ex]
\Rightarrow \, a_n=n^2+n.
\end{gather*}

kuing

\begin{align*}
a_{n+1}=a_n+1\color{blue}\pm\sqrt{4a_n+1},
\end{align*} 若取负号，则取 n=1，有 $a_2=0$ 与 $a_n>0$ 矛盾，于是仅有 \[a_{n+1}=a_n+1\color{red}+\sqrt{4a_n+1},\tag{01}\]

这里推理逻辑有问题，你只是证明了 n=1 时要取正，但不代表 n>1 时都要取正，它可以有时取 + 有时取 -

isee

kuing 发表于 2023-1-21 17:46
这里推理逻辑有问题，你只是证明了 n=1 时要取正，但不代表 n>1 时都要取正，它可以有时取 + 有时取 - ...

嗯，确实，改成 a_2>0 了，哈哈哈哈哈~

kuing

顺便说一下“标签”：
楼主打的“数列”标签，首先是主题分类已经有了，标签再写就显得多余（因为要看数列题只要点击标签处的主题分类就行），标签建议尽量细致一点，这样“相关帖子”会更准确些，比如这里可以打“递推数列”，还可以再加个“求通项”。

isee

kuing 发表于 2023-1-21 18:30
顺便说一下“标签”：
楼主打的“数列”标签，首先是主题分类已经有了，标签再写就显得多余（因为要看数列 ...

好主意~