不用归纳法，直接求通项

guanmo1

如题。

kuing

因为
\[4a_{n+1}=4S_{n+1}-4S_n=(n+1)(a_{n+1}+a_{n+2})-n(a_n+a_{n+1}),\]
所以
\[(n+1)a_{n+2}=3a_{n+1}+na_n,\]
这种变系数的二阶线性递推还不知道有没有通用的方法，这次能求是靠撞的。
将上式整理为
\[(n+1)(a_{n+2}-a_{n+1})=2a_{n+1}-n(a_{n+1}-a_n),\]
所以
\begin{align*}
(n+1)(a_{n+2}-a_{n+1})&=2a_{n+1}-\bigl( 2a_n-(n-1)(a_n-a_{n-1}) \bigr) \\
& =2(a_{n+1}-a_n)+(n-1)(a_n-a_{n-1}),
\end{align*}
令 $b_n=a_{n+1}-a_n$，即
\[(n+1)b_{n+1}=2b_n+(n-1)b_{n-1},\]
恰好整理为
\[(n+1)(b_{n+1}-b_n)=-(n-1)(b_n-b_{n-1}),\]
而由条件有 $4a_1=4S_1=a_1+a_2\riff a_2=3a_1$, $4(a_1+a_2)=4S_2=2(a_2+a_3)\riff a_3=2a_1+a_2=5a_1$，恰好使 $b_2=b_1=2a_1$，即 $b_2-b_1=0$，故由上式可知恒有 $b_n-b_{n-1}=0$，即 \an 是等差数列，下略。

kuing

注意上述过程中并未使用 $a_4=7$ 的条件，也就是说单凭 $4S_n=n(a_n+a_{n+1})$ 就已经可以确定 \an 是等差数列，$a_4=7$ 只是用来确定具体系数而已。

但这不代表满足 $(n+1)a_{n+2}=3a_{n+1}+na_n$ 的数列就是等差数列，$4S_n=n(a_n+a_{n+1})$ 与 $(n+1)a_{n+2}=3a_{n+1}+na_n$ 是充分不必要的关系。

下面来求 $(n+1)a_{n+2}=3a_{n+1}+na_n$ 的通解。

沿用上面的东西，再令 $c_n=b_{n+1}-b_n$，则
\begin{align*}
c_n&=-\frac{n-1}{n+1}c_{n-1}=\frac{n-1}{n+1}\cdot \frac{n-2}{n}c_{n-2}=-\frac{n-1}{n+1}\cdot \frac{n-2}{n}\cdot \frac{n-3}{n-1}c_{n-3} \\
& =\cdots =(-1)^{n-1}\frac{n-1}{n+1}\cdot \frac{n-2}{n}\cdot \frac{n-3}{n-1}\cdots \frac13c_1=(-1)^{n-1}\frac2{n(n+1)}c_1,
\end{align*}
于是
\begin{align*}
b_n&=b_1+c_1+c_2+\cdots +c_{n-1} \\
& =b_1+\left( \frac2{1\cdot2}-\frac2{2\cdot3}+\frac2{3\cdot4}-\cdots +(-1)^n\frac2{(n-1)n} \right)c_1,
\end{align*}
所以
\begin{align*}
a_n={}&a_1+b_1+b_2+\cdots +b_{n-1} \\
={}&a_1+b_1+\left( b_1+\frac2{1\cdot2}c_1 \right)+\left( b_1+\left( \frac2{1\cdot2}-\frac2{2\cdot3} \right)c_1 \right) \\
&+\cdots +\left( b_1+\left( \frac2{1\cdot2}-\frac2{2\cdot3}+\frac2{3\cdot4}-\cdots +(-1)^{n-1}\frac2{(n-2)(n-1)} \right)c_1 \right) \\
={}&a_1+(n-1)b_1+2\left( \frac{n-2}{1\cdot2}-\frac{n-3}{2\cdot3}+\frac{n-4}{3\cdot4}-\cdots +(-1)^{n-1}\frac{n-(n-1)}{(n-2)(n-1)} \right)c_1,
\end{align*}
化简一下那个求和，注意到
\[\frac{n-k}{(k-1)k}=\frac{n-1}{k-1}-\frac nk,\]
故
\begin{align*}
&\frac{n-2}{1\cdot2}-\frac{n-3}{2\cdot3}+\frac{n-4}{3\cdot4}-\cdots +(-1)^{n-1}\frac{n-(n-1)}{(n-2)(n-1)} \\
={}&\left(\frac{n-1}1-\frac n2\right)-\left( \frac{n-1}2-\frac n3 \right)+\left(\frac{n-1}3-\frac n4\right)-\cdots +(-1)^{n-1}\left( \frac{n-1}{n-2}-\frac n{n-1} \right) \\
={}&(n-1)\left( 1-\frac12+\frac13-\cdots +(-1)^{n-1}\frac1{n-2} \right) \\
&+n\left( -\frac12+\frac13-\frac14+\cdots +(-1)^n\frac1{n-1} \right) \\
={}&(n-1)\left( 1-\frac12+\frac13-\cdots +(-1)^{n-1}\frac1{n-2}+(-1)^n\frac1{n-1} \right)-(-1)^n \\
&+n\left( 1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots +(-1)^n\frac1{n-1} \right)-n \\
={}&(2n-1)\left( 1-\frac12+\frac13-\cdots +(-1)^n\frac1{n-1} \right)-(-1)^n-n,
\end{align*}
再计算出 $b_1=a_2-a_1$, $2c_1=3a_1-a_2$，代入即得
\begin{align*}
a_n&=a_1+(n-1)(a_2-a_1)+\left( (2n-1)\left( 1-\frac12+\frac13-\cdots +(-1)^n\frac1{n-1} \right)-(-1)^n-n \right)(3a_1-a_2) \\
&=(2n-1)(a_2-2a_1)+\left( (2n-1)\left( 1-\frac12+\frac13-\cdots +(-1)^n\frac1{n-1} \right)-(-1)^n \right)(3a_1-a_2),
\end{align*}
这就是 $(n+1)a_{n+2}=3a_{n+1}+na_n$ 的通解，其为等差当且仅当 $a_2=3a_1$。

顺便还得出了
\[\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{2n-1}=a_2-2a_1+(3a_1-a_2)\ln2.\]

敬畏数学

哎！太折腾，原本作者就是一个很简单的出发点。

Infinity

下面用母函数的方法来尝试解决2楼这种变系数的递推关系（当然并非所有情况都有效）:\[
(n+1)a_{n+2}=3a_{n+1}+na_n\tag{1}
\]记形式幂级数（无需考虑收敛性，因为x取值与问题无关）\[
G(x)=a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\cdots+a_nx^n+a_{n+1}x^{n+1}+\cdots\tag{2}
\]
利用$(1)$有\begin{align*}
&\mathrel{\phantom{=}}\left(\frac{G(x)}{x}\right)'-3\frac{G(x)}{x}-xG'(x)\\
&=a_2-3a_1+(2a_3-3a_2-a_1)x+(3a_4-3a_3-2a_2)x^2+\cdots+((n+1)a_{n+2}-3a_{n+1}-na_n)x^n+\cdots\\
&=a_2-3a_1.
\end{align*}根据已知条件，$4S_1=4a_1=a_2+a_1\implies a_2=3a_1$，代入上式并整理得到微分方程\[
(x^3-x)G\,'(x)+(3x+1)G(x)=0\tag{3}
\]解得\[
G(x)=k\frac{x(x+1)}{(1-x)^2}=k-\frac{3k}{1-x}+\frac{2k}{(1-x)^2}\tag{4}
\]其中$k$为正常数，具体值由初始条件确定。

考虑到有如下形式幂级数\begin{align*}
\frac{1}{1-x}&=1+x+x^2+x^3+\cdots+x^n+\cdots \tag{a}\\
\frac{1}{(1-x)^2}&=1+2x+3x^2+\cdots+(n+1)x^n+\cdots\tag{b}
\end{align*}其中$(b)$可以通过将$(a)$两端同时求导得到，或是直接根据广义二项式定理（需要推广组合数定义至实数范围）求得，此处不赘述。

于是$(4)$的形式幂级数为\[
G(x)=kx+3kx^2+5kx^3+7kx^4+9kx^5+\cdots
\]对比$(2)$式(以及$a_4=7$可求出$k=1$)，得到$(1)$的解为\[a_n=2n-1\]显然为等差数列。
因此$S_n-6a_n=n^2-6(2n-1)=n^2-12n+6=(n-6)^2-30$的最小值为$-30$，当且仅当 $n=6$ 时取得。

上述方法原本是大学《组合数学》课程里的内容，部分被下放到高中竞赛（只不过微构造分方程以及求解的方法高中竞赛是不会涉及的）。这种方法是通用方法，因此在某些简单问题上会先得杀鸡用牛刀的感觉，但是对于复杂的问题，母函数方法尤为简洁有力（甚至很难找到其他简单有效的方法得出答案）。