求四个捆绑数列的通项公式

其妙

已知
\(x_{n+1}=y_n,\)
\(y_{n+1}=\frac{1}{3}x_n+\frac{2}{3}z_n,\)
\(z_{n+1}=\frac{2}{3}y_n+\frac{1}{3}w_n,\)
\(w_{n+1}=z_n,\)
求各数列的通项公式，并求 $P_n=x_n+2 y_n+z_n$ 的通项公式

kuing

由条件有
\[y_{n+1}=\frac13x_n+\frac23z_n=\frac13y_{n-1}+\frac23z_n,\quad(1)\]
得
\[z_n=\frac32y_{n+1}-\frac12y_{n-1},\quad(2)\]
由条件有
\[z_{n+1}=\frac23y_n+\frac13w_n=\frac23y_n+\frac13z_{n-1},\quad(3)\]
式 (2) 代入式 (3) 得
\[\frac32y_{n+2}-\frac12y_n=\frac23y_n+\frac13\left(\frac32y_n-\frac12y_{n-2}\right),\]
化简即
\[y_{n+2}=\frac{10}9y_n-\frac19y_{n-2},\]
这样就可以分奇偶求出 `\{y_n\}`，然后其余均可得，具体懒得算🤪

kuing

这道题是否有背景，感觉像概率啥的

其妙

kuing 发表于 2024-7-24 15:32
这道题是否有背景，感觉像概率啥的

其妙

能否用mma或者其它程序求出这4个数列的前10项？

kuing

其妙 发表于 2024-7-25 08:26
能否用mma或者其它程序求出这4个数列的前10项？

\begin{array}{cccc}
0 & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\
\frac{1}{3} & 0 & \frac{2}{9} & 0 \\
0 & \frac{7}{27} & 0 & \frac{2}{9} \\
\frac{7}{27} & 0 & \frac{20}{81} & 0 \\
0 & \frac{61}{243} & 0 & \frac{20}{81} \\
\frac{61}{243} & 0 & \frac{182}{729} & 0 \\
0 & \frac{547}{2187} & 0 & \frac{182}{729} \\
\frac{547}{2187} & 0 & \frac{1640}{6561} & 0 \\
0 & \frac{4921}{19683} & 0 & \frac{1640}{6561} \\
\frac{4921}{19683} & 0 & \frac{14762}{59049} & 0
\end{array}

kuing

kuing 发表于 2024-7-25 13:50
\begin{array}{cccc}
0 & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\
\frac{1}{3} & 0 & \frac{2}{9} & 0 \\

既然有那么多 0，那看来可以稍微简化一下求通项的操作。

首先由递推式易知：
若 `x_n=z_n=0`，则 `y_{n+1}=w_{n+1}=0`；
若 `y_n=w_n=0`，则 `x_{n+1}=z_{n+1}=0`。
那么由首项 `x_1=z_1=0` 即可推得 `x_{2k-1}=z_{2k-1}=0` 且 `y_{2k}=w_{2k}=0` 对所有 `k\inN^+` 成立。

另外，如果令 `u_n=y_n+z_n`，则将 2# 的式 (1)+(3) 可得
\[u_{n+1}=\frac23u_n+\frac13u_{n-1},\]
`u_1=1/3`, `u_2=2/9`，特征根为 `1` 和 `-1/3`，容易求出
\[u_n=\frac14\left(1-\left(-\frac13\right)^n\right),\]
于是当 `n` 为奇数时
\[u_n=\frac14\left(1+\frac1{3^n}\right)=y_n=x_{n+1};\]
当 `n` 为偶数时
\[u_n=\frac14\left(1-\frac1{3^n}\right)=z_n=w_{n+1}.\]

这样就求完了。（本来 2# 懒得算的结果还是算完了😅

1+1=？

这不就是马尔科夫链嘛

其妙

矩阵$A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
  0&1&0&0 \\
  {\frac{1}{3}}&0&{\frac{2}{3}}&0 \\
  0&{\frac{2}{3}}&0&{\frac{1}{3}} \\
  0&0&1&0
\end{array}} \right)$的特征多项式与特征根是多少啊，可以使用mma

其妙

kuing 发表于 2024-7-25 14:09
既然有那么多 0，那看来可以稍微简化一下求通项的操作。

首先由递推式易知：

太厉害了！已求出了$u_n=y_n+z_n$的通项公式，能不能求出$v_n=x_n+y_n$的通项公式？

kuing

其妙 发表于 2024-7-27 15:33
太厉害了！已求出了$u_n=y_n+z_n$的通项公式，能不能求出$v_n=x_n+y_n$的通项公式？ ...

$v_n=x_n+y_n$，那就是 `n` 为奇数时 `v_n=y_n=u_n`，偶数时 `v_n=x_n=y_{n-1}=u_{n-1}` 啊。

hbghlyj

转移矩阵为$\left( {\begin{smallmatrix}
  0&1&0&0 \\
  {\frac{1}{3}}&0&{\frac{2}{3}}&0 \\
  0&{\frac{2}{3}}&0&{\frac{1}{3}} \\
  0&0&1&0
\end{smallmatrix}} \right)$的离散时间的Markov chain有4个状态 x,y,z,w

• 从 x 出发，以概率 1 转移到 y。  
• 从 y 出发，以概率 \(\frac{1}{3}\) 转移到 x，以概率 \(\frac{2}{3}\) 转移到 z。  
• 从 z 出发，以概率 \(\frac{2}{3}\) 转移到 y，以概率 \(\frac{1}{3}\) 转移到 w。  
• 从 w 出发，以概率 1 转移到 z。

hbghlyj

其妙 posted at 2024-7-27 08:18
特征多项式与特征根是多少啊

经过计算，其特征多项式为 \(\det(A-tI)=t^4 -\frac{10}{9}t^2+\frac{1}{9}= (t-1)(t+1)(t-\frac{1}{3})(t+\frac{1}{3}),\)
特征根为 \(1,\ -1,\ \frac{1}{3},\ -\frac{1}{3}\)，反映了Markov链向平稳状态收敛的速度。

• 矩阵\(A\)是Markov链的单步转移概率矩阵，其各行非负且行和为1。
• Markov链的一个基本性质是转移矩阵总具有一个特征值1，对应于平稳分布。
• 其他特征值的模长决定了收敛速率。对于该矩阵，除1以外的特征值 \(-1,\ \frac{1}{3},\ -\frac{1}{3}\) 的绝对值均不超过1（严格小于1时会有渐进稳定性），这反映了Markov链随时间演化时向平稳状态收敛的性质。
• 如果存在负特征值（例如\(-1\)），可能会导致系统在收敛过程中出现震荡现象。