马尔科夫链问题

v6mm131

离散马尔科夫链在随机过程中的重要应用

情况甲:小球在$-∞,\dots,0,1,2,\dots,n$这些位置上移动,且其向前、向后的概率均为$\frac12$,当其首次运动至n时停止.(初始时小球在0处)
情况乙:小球在$0,1,2,\dots,n$这些位置上移动,且其向前、向后的概率均为$\frac12$,但在位置0时小球只能向前移动,当其首次运动至n时停止。(初始时小球在0处)
(1)在停止前,求情况甲下小球运动k次后的期望位置;
(2)在停止前,求情况乙下小球运动k次后的期望位置;
(3)分别求停止时两种情况的期望步数

abababa

这个第一个是不是
\[E(k)=\frac{E(k-1)+1}{2}+\frac{E(k+1)+1}{2}\]
然后初始的$E(0)=0$？然后应该是一个差分方程吧。

kuing

abababa 发表于 2024-5-22 14:14
这个第一个是不是
\[E(k)=\frac{E(k-1)+1}{2}+\frac{E(k+1)+1}{2}\]
然后初始的$E(0)=0$？然后应该是一个差 ...

不是很理解，能否解释一下……

abababa

kuing 发表于 2024-5-22 17:08
不是很理解，能否解释一下……

我也不是很懂。就是比如在$k$的位置的期望，应该和达到$k$之前的那一步的期望有关，达到$k$之前的一步，或者是在$k-1$或者是在$k+1$，比如在$k-1$，这个点再走一步，就加1，然后因为这一步到达$k$的机会是$\frac{1}{2}$，所以就是$\frac{E(k-1)+1}{2}$，$k+1$的同理，加起来就是$E(k)$了吧。

kuing

abababa 发表于 2024-5-22 17:32
我也不是很懂。就是比如在$k$的位置的期望，应该和达到$k$之前的那一步的期望有关，达到$k$之前的一步， ...

问的 `k` 不是次数吗，怎么变成了位置……

abababa

kuing 发表于 2024-5-22 17:50
问的 `k` 不是次数吗，怎么变成了位置……

哦，我理解错意思了。那这样的话，应该是$E(k)=\frac{E(k+1)}{2}+\frac{E(k-1)}{2}$？初始的$E(0)=\frac{E(1)}{2}$。

kuing

运动 1 次后，在 1/2 概率在位置 1，1/2 概率在 -1，那 E(1)=0？
由对称性，当 k<=n 时都恒有 E(k)=0？

abababa

kuing 发表于 2024-5-22 18:44
运动 1 次后，在 1/2 概率在位置 1，1/2 概率在 -1，那 E(1)=0？
由对称性，当 k<=n 时都恒有 E(k)=0？
...

按题目所说的，在点0处时应该只能运动到1，不能往-1运动。这样的话点0应该只能由点1往回运动才能得到，而点1运动到0和2的机会都是1/2，所以应该是$E(0)=E(1)/2$吧。

kuing

abababa 发表于 2024-5-22 20:24
按题目所说的，在点0处时应该只能运动到1，不能往-1运动。这样的话点0应该只能由点1往回运动才能得到，而 ...

情形甲没有这个要求，咱们不是在讨论（1）吗？

abababa

kuing 发表于 2024-5-22 20:39
情形甲没有这个要求，咱们不是在讨论（1）吗？

唉，我又弄错了，把第一问上面的字就当成条件了。