一个2023年新高考1卷概率大题的变式问题

lemondian

甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中由此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮。无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为$a $，乙每次投篮的命中率均为$b $，由抽签决定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5。

问题1：当甲投了$n $个球时游戏结束，记此时甲投中的次数为$X_1$，求$E(X_1)$。

问题2：当乙投了$n $个球时游戏结束，记此时甲投中的次数为$X_2$，求$E(X_2)$。

问题3：当乙总共投进$n $个球时游戏结束，记此时甲投中的次数为$X_3$，求$E(X_3)$。

问题3：当乙比甲多投进$n $个球时游戏结束，记此时甲投中的次数为$X_4$，求$E(X_4)$。

求教大家，上述问题的解答，谢谢！

kuing

不会，不过凭直觉觉得如果 a>b 那期望可能会无穷大😁

O-17

如果把终止条件改成 "两个人比分差值大于等于 $n$ 时游戏结束" 可以把所有可能的状态列出来, 我们可以用有序的二元整数对来描述所有状态
$$
\Omega=\{(x,y):\left(x=1\wedge-n<y\leqslant n\right)\vee\left(x=2\wedge-n\leqslant y< n\right)\}\subset\mathbb{Z}^2
$$
其中 $x=1$ 表示下一次投球的人是甲, $x=2$ 则表示下一次投球的人是乙, $y$ 的值为此时甲的得分减去乙的得分 (每进一个球即得一分) .
易知 $|\Omega|=2n$ ,确定完所有可能的状态后, 根据题意不难写出如下的 Markov Chain.
\begin{matrix}
\color{red}{(1,n)}\\
\uparrow a\\
\color{blue}{(1,n-1)}&\underset{1-a}{\overset{1-b}{\leftrightarrows}}&\color{blue}{(2,n-1)}\\
\uparrow a&&\downarrow b\\
\color{blue}{(1,n-2)}&\underset{1-a}{\overset{1-b}{\leftrightarrows}}&\color{blue}{(2,n-2)}\\
\uparrow a&&\downarrow b\\
\cdots&\cdots&\cdots\\
\uparrow a&&\downarrow b\\
\color{blue}{(1,0)}&\underset{1-a}{\overset{1-b}{\leftrightarrows}}&\color{blue}{(2,0)}\\
\uparrow a&&\downarrow b\\
\cdots&\cdots&\cdots\\
\uparrow a&&\downarrow b\\
\color{blue}{(1,2-n)}&\underset{1-a}{\overset{1-b}{\leftrightarrows}}&\color{blue}{(2,2-n)}\\
\uparrow a&&\downarrow b\\
\color{blue}{(1,1-n)}&\underset{1-a}{\overset{1-b}{\leftrightarrows}}&\color{blue}{(2,1-n)}\\
&&\downarrow b\\
&&\color{red}{(2,-n)}\\
\end{matrix}
比如当 $n=2$ 时, 可以写出状态转移矩阵 $A$ 和初始向量 $v_0$ ,
$$A=
\begin{pmatrix}
0&0&a&0&0&0&0&0\\
0&0&0&0&0&0&0&b\\
0&0&0&1-b&a&0&0&0\\
0&0&1-a&0&0&0&0&0\\
0&0&0&0&0&1-b&a&0\\
0&0&0&b&1-a&0&0&0\\
0&0&0&0&0&0&0&1-b\\
0&0&0&0&0&b&1-a&0
\end{pmatrix},~v_0=
\begin{pmatrix}
0\\0\\0\\0\\0.5\\0.5\\0\\0
\end{pmatrix}\sim
\begin{Bmatrix}
(1,2)\\
(2,-2)\\
(1,1)\\
(2,1)\\
(1,0)\\
(2,0)\\
(1,-1)\\
(2,-1)
\end{Bmatrix}
$$
第 $n$ 次投篮后的状态向量 $v_n=A^nv_0$ , 其分量代表此时处于对应状态的概率.

isee

O-17 发表于 2023-8-25 05:05
如果把终止条件改成 "两个人比分差值大于等于 $n$ 时游戏结束" 可以把所有可能的状态列出来, 我们可以用有 ...

小伙子进步了~，我渐渐看不明白了~，可喜可贺

战巡

O-17 发表于 2023-8-25 05:05
如果把终止条件改成 "两个人比分差值大于等于 $n$ 时游戏结束" 可以把所有可能的状态列出来, 我们可以用有 ...

这个明摆着不对

转移矩阵的每一行的和必然为1
你这个看起来像抠掉了吸收态的那个R矩阵，但又和你右边的状态不符

事实上你根本就没写吸收态

kuing

[quote][size=2][url=forum.php?mod=redirect&goto=findpost&pid=55854&ptid=11378][color=#999999]isee 发表于 2023-8-25 11:45[/color][/url][/size]
小伙子进步了~，我渐渐看不明白了~，可喜可贺[/quote]

我也看不懂😣
只能水一个代码😁：
3# 的链也可以用 \xymatrix 来输入，效果如下：
\[
\xymatrix{
\color{red}{(1,n)} \\
\color{blue}{(1,n-1)} \ar[u]^a \ar@<.5ex>[r]^{1-a} & \color{blue}{(2,n-1)} \ar@<.5ex>[l]^{1-b} \ar[d]^b\\
\color{blue}{(1,n-2)} \ar[u]^a \ar@<.5ex>[r]^{1-a} & \color{blue}{(2,n-2)} \ar@<.5ex>[l]^{1-b} \ar[d]^b\\
\vdots \ar[u]^a  & \vdots \ar[d]^b\\
\color{blue}{(1,0)} \ar[u]^a \ar@<.5ex>[r]^{1-a} & \color{blue}{(2,0)} \ar@<.5ex>[l]^{1-b} \ar[d]^b\\
\vdots \ar[u]^a  & \vdots \ar[d]^b\\
\color{blue}{(1,2-n)} \ar[u]^a \ar@<.5ex>[r]^{1-a} & \color{blue}{(2,2-n)} \ar@<.5ex>[l]^{1-b} \ar[d]^b\\
\color{blue}{(1,1-n)} \ar[u]^a \ar@<.5ex>[r]^{1-a} & \color{blue}{(2,1-n)} \ar@<.5ex>[l]^{1-b} \ar[d]^b\\
& \color{red}{(2,-n)}
}
\]

O-17

战巡 发表于 2023-8-25 12:17
这个明摆着不对

转移矩阵的每一行的和必然为1

我转移矩阵左边两列写得确实有问题, 应该是
$$
A=
\begin{pmatrix}
1&0&a&0&0&0&0&0\\
0&1&0&0&0&0&0&b\\
0&0&0&1-b&a&0&0&0\\
0&0&1-a&0&0&0&0&0\\
0&0&0&0&0&1-b&a&0\\
0&0&0&b&1-a&0&0&0\\
0&0&0&0&0&0&0&1-b\\
0&0&0&0&0&b&1-a&0
\end{pmatrix}
$$
这样就是每列和为 1 , 第 $i$ 行第 $j$ 列的元素代表从状态 $j$ 转移到状态 $i$ 的概率. 比如第 3 行第 4 列的 $1-b$ 代表从 $(2,1)$ 到 $(1,1)$ 的概率是 $1-b$ .

lemondian

1#的问题已更新，求解答！