《生活中的数学》电子版

不问旧梦

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不问旧梦

第二章 上帝的骰子---排列组合与概率
排列组合和概率是一门揭示事物排列组合关系及随机现象规律的数学学科。在我们的日常生活中几乎随处可见排列组合与概率的影子。例如我们平时估算彩票的中奖概率，抓阄抽奖，棋牌麻将等游戏，归纳整理档案，制定运动会的秩序表等都要应用到一些排列组合和概率的知识。因此了解和掌握一些排列组合和概率的知识对于我们处理和解决日常生活中遇到的问题是会有所帮助的。同时掌握一些排列组合和概率的思想，并将这种思维方式融入到实际生活当中，你会发现解决许多问题可以多一条思路，多一种方法，从而让我们做起事来更加得心应手，事半功倍。本节将向大家介绍一些与排列组合和概率相关的题目。
2.1 你究竟能不能中奖？
当下市面上各种彩票林林总总，令人眼花缭乱！体育彩票，足球彩票，双色球，大乐透，七星彩，刮刮乐……种类繁多，令人目不暇接。很多人把迅速发财致富的筹码押到了购买彩票上面。这些人几乎都在乐此不疲地购买各种彩票，而且每期必买，但是中奖的概率似乎并没有因为他们的“执着”而变大。甚至有些人会斥巨资购买很多注彩票，企图通过这种方法提高中奖机率从而中得大奖，而实际却往往事与愿违，赔了夫人又折兵。那么究竟彩票的中奖机率有多大呢？我们现在就来算一算。

有一种体育彩票的玩法如下：
2元钱可以买一张彩票，每张彩票需要填写一个6位数字和一个特别号码。填写的6位数字中每位数字均可填写0，1，2，… ，9这10个数字中的一个，特别号码可以填写0，1，2，3，4这5个数字中的一个。每期体彩设五个奖项，开奖号码由电脑随机产生，包括6位数字和1个特别号码。中奖规则如表2-1所示。
表2-1 中奖规则
中奖级别        中奖规则
特等奖        填写的6位数字与特别号码跟开奖的号码内容及顺序完全相同
一等奖        填写的6位数字与开奖的号码内容及顺序相同，特别号码不同
二等奖        6位数中有5个连续数字与开奖号码相同且位置一致
三等奖        6位数中有4个连续数字与开奖号码相同且位置一致
四等奖        6位数中有3个连续数字与开奖号码相同且位置一致
请帮忙计算一下每种奖项的中奖概率分别是多少？
分析：
如何计算每种奖项的中奖概率呢？这里面就需要用到排列组合及概率论的知识了。假设开奖的号码为1，2，3，4，5，6，1，其中最后一位1是特别号码，因此我们用方框框起来以示区别。那么每种奖项的中奖号码需要满足怎样的特征呢？中奖的概率又分别是多少呢？我们逐一来进行分析。
首先来看特等奖，根据表2-1的描述：填写的6位数字与特别号码需要跟开奖的号码内容及顺序完全相同才能中奖。因此只有彩民填写的号码恰好是1，2，3，4，5，6，1 才能中特等奖。对于彩民而言，事先不可能知道开奖号码是什么，因此只能全凭运气猜写。对于前6位的数字，每一位上都可以有10种填写方式（0，1，2，…，9），因此组合起来共有106种填写方式。同时特别号码共有5种填写方式（0，1，2，3，4）。这样将前6位数字与特别号码组合起来，总共就有5×106种填写方式。而真正中奖的号码只有一种，即1，2，3，4，5，6，1 ，这样中特等奖的概率就是P0=1/(5×106)。
再来看一等奖，根据表2-1的描述：填写的6位数字与开奖的号码内容及顺序相同，特别号码不同才能中奖。因此一等奖中奖号码的形式为：
1，2，3，4，5，6，x  ，其中x≠1，x∈{0，1，2，3，4}。
如果能中一等奖，特别号码就只能填写0，2，3，4这4个数字其中之一，即有4种填写方式，同时前6位数字依然只有1种填写方式，即1，2，3，4，5，6。而总共的填写彩票的方式（前6位数字加上特别号码）依然有5×106种，因此中一等奖的概率应为P1=(1×4)/ (5×106)=4/ (5×106)。
再来看二等奖，根据表2-1的描述：6位数中有5个连续数字与开奖号码相同即可中二等奖。因此二等奖中奖号码有2种形式：
第一种中奖号码形式：1，2，3，4，5，y，x ，其中x∈{0，1，2，3，4}，y≠6并且y∈{0，1，2，…，9}；
第二种中奖号码形式：y，2，3，4，5，6，x ，其中x∈{0，1，2，3，4}，y≠1并且y∈{0，1，2，…，9}。
这个道理是显而易见的，因为如果y=6或者y=1，那么就包含了一等奖和特等奖的可能，因此在二等奖的号码组合中，上述两种情况下，要求y≠6并且y≠1。这样第一种形式的二等奖号码1，2，3，4，5，y，x 共有9×5=45种填写方式；第二种形式的二等奖号码y，2，3，4，5，6，x 也有9×5=45种填写方式，因此二等奖中奖号码共有90种。那么二等奖的中奖概率就是P2=90/ (5×106)。
再来看三等奖的情况，根据表2-1的描述：6位数中有4个连续数字与开奖号码相同即可中三等奖。同样我们分析一下中奖号码的几种形式。
第一种中奖号码形式：1，2，3，4，z，y，x ；z≠5，z,y∈{0，1，2，…，9}，x∈{0，1，2，3，4}；
第二种中奖号码形式：z，2，3，4，5，y，x ；z≠1，y≠6，z,y∈{0，1，2，…，9}，x∈{0，1，2，3，4}；
第三种中奖号码形式：y，z，3，4，5，6，x ；z≠2， z,y∈{0，1，2，…，9}，x∈{0，1，2，3，4}。
第一种形式的三等奖号码共有9×10×5=450种填写方式，第二种形式的三等奖号码共有9×9×5=405种填写方式，第三种形式的三等奖号码共有9×10×5=450种填写方式。因此三等奖中奖的彩票填写方式共有450+405+450=1305种。那么三等奖的中奖概率为P3=1305/ (5×106)。
再来看四等奖的情况，根据表2-1的描述：6位数中有3个连续数字与开奖号码相同即可中四等奖。我们分析一下中奖号码的几种形式。
第一种中奖号码形式：1，2，3，w，z，y，x ；w≠4，w,z,y∈{0，1，2，…，9}，x∈{0，1，2，3，4}；
第二种中奖号码形式：w，2，3，4，z，y，x ；w≠1，z≠5，w,z,y∈{0，1，2，…，9}，x∈{0，1，2，3，4}；
第三种中奖号码形式：w，z，3，4，5，y，x ；y≠6，z≠5，w,z,y∈{0，1，2，…，9}，x∈{0，1，2，3，4}；
第四种中奖号码形式：w，z，y，4，5，6，x ；y≠3，w,z,y∈{0，1，2，…，9}，x∈{0，1，2，3，4}；
第一种形式的四等奖号码共有9×10×10×5=4500种填写方式，第二种形式的四等奖号码共有9×9×10×5=4050种填写方式，第三种形式的四等奖号码共有9×9×10×5=4050种填写方式，第四种形式的四等奖号码共有9×10×10×5=4500种填写方式。因此四等奖中奖的彩票填写方式共有4500+4050+4050+4500=17100种。那么四等奖的中奖概率为P3=17100/ (5×106)。
表2-2中总结了这种体育彩票五个奖项分别的中奖率。
表2-2 五个奖项分别的中奖率
中奖级别        中奖率
特等奖        P=1/5000000=0.0000002

一等奖        P=4/5000000 =0.0000008

二等奖         P=90/5000000=0.000018

三等奖         P=1305/5000000=0.000261

四等奖         P=17100/5000000=0.00342

可见奖项越低中奖概率越高，但是即便是最低的四等奖，中奖概率也只有千分之三左右，而特等奖的中奖概率更是低的无法想象。
彩票的种类很多，玩法也不尽相同，本题只是以一个例子来说明如何计算它的中奖概率。但是所有的彩票都有一个共同的特点就是中奖概率都十分低。因此彩票只是一种茶余饭后娱乐消遣的方式而已，期望通过买彩票而实现发财致富的梦想是十分不理智的，也是不现实的。所以我们在购买彩票时，都应当本着理性而平和心态，把它仅仅当作一种娱乐和消遣，这样才能不失掉彩票本身的意义。
知识扩展：古典概率模型
概率依据计算方法的不同可分为古典概率，试验概率，主观概率等。其中古典概率是最为简单，最容易理解，也是人们最早开始研究的一种概率模型。
古典概率的模型有两个基本的前提：（1）所有的可能性是有限的；（2）每个基本结果发生的概率是相同的。在满足这两个条件的情况下，我们就可以用古典概率模型求解某一随机事件的概率。如果用更加抽象的数学语言来描述，可以这样定义古典概率模型：
假设一个随机事件共有n种可能的结果（n是有限的），并且这些结果发生的可能性都是均等的，而某一事件A包含其中s个结果，那么事件A发生的概率P(A)就可以定义为：
P(A)=s/n
这就是古典概率的定义。
        最简单的例子就是掷骰子的游戏。一个骰子共有6个面，每个面上刻有1~6个不等的点。如果我们随手掷出骰子，那么哪个面朝上完全是一个随机事件。因为掷骰子的点数最多有6种可能的结果（即可能性是有限的，包括1点，2点，…，6点），并且每种结果发生的概率也是相同的（这里认为骰子的密度应当是均匀的），所以计算掷骰子的概率可以应用古典概率模型。请看下面两个问题。
        问题一：请计算掷出骰子点数为1的概率是多少？
因为掷骰子这个事件共有6种可能的结果，而事件“掷出骰子点数为1”包含的结果只有1种，因此事件“掷出骰子点数为1”发生的概率P(掷出骰子点数为1)=1/6。
        问题二：请计算掷出骰子点数不大于3的概率是多少？
因为掷骰子这个事件共有6种可能的结果，而事件“掷出骰子点数不大于3”包含了其中3种结果（即出现1点或2点或3点），因此事件“掷出骰子点数不大于3”发生的概率P(掷出骰子点数不大于3)=3/6=1/2。

回到上面的彩票中奖的问题，这也是一个典型的古典概率问题。以计算“中一等奖”的概率为例，我们首先需要知道填写彩票本身共有多少种可能的结果。根据题目的已知条件，彩民需要填写6位数字和1个特别号码，对于前6位的数字，每一位上都可以有10种填写方式（0，1，2，…，9），因此组合起来共有106种填写方式。同时特别号码共有5种填写方式（0，1，2，3，4）。这样将前6位数字与特别号码组合起来总共就有5×106种填写方式，也就是说随机填写彩票，共有5×106种可能的结果。然而“中一等奖”这个事件只包含了其中4种结果（即前6位数字必须是1，2，3，4，5，6，而特别号码可以是1或2或3或4，这样共有4种组合），因此中一等奖的概率就是4/ (5×106)。

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这么新的书，怕只能有纸质版的了

不问旧梦

2.2 巧合的生日
在我们的日常生活中会发现一种有趣的现象——我们跟我们周边的某个人（同学，朋友，亲戚等）是同一天生日。遇到这种事情时，我们可能会为之感到惊叹：天下竟然还会有这样巧合的事情啊！真的这样不可思议吗？在我们周遭遇到这样生日相同的朋友的几率究竟有多大呢？我们来看一下下面这道有趣的题目。

小明下班回家兴奋的跟妈妈说：妈妈，妈妈，我们班大龙和小刚竟然是同一天生日，您说巧不巧？妈妈听了之后略加思考，便笑着对小明说：不巧啊，你们班差不多四十个人呢，如果没有人生日是同一天那才叫巧了呢。小明听了妈妈的话后大惑不解，心想一年三百六十五天，我们班才四十个人啊，怎么会是这样呢，便缠着妈妈要问个究竟，于是妈妈便道出了其中的奥秘。你知道妈妈是怎样跟小明解释的吗？
分析：
我们先假设班里只有两个人AB，那么他们生日在同一天的概率很容易计算。因为无论A是哪天出生，B只能跟他同一天，也就是365天中只有1天可以选择，因此如果一个班只有两个人，那么他们生日同一天的概率为1/365=0.002740。
如果班里有三个人ABC，情况就要复杂一些了，可以分为AB同天，AC同天，BC同天，ABC都同天。这里AB同天隐含了信息C与AB不同天。由于前三种情况雷同，我们只看AB同天一种。无论A哪天出生，B在365天中只有1天可以选择，C跟AB不同天，那么C有364天可以选择，因此AB同天的概率为(1/365)×(364/365)=0.002732。同理BC同天和AC同天的概率也分别时0.002732。而ABC同天的概率为(1/365) ×(1/365)=0.000008。我们把所有的概率加起来就是三个人至少有两个人同一天生日的概率：0.008204。这个概率似乎还是很小，不到百分之一，但是已经是两个人情况的3倍了，因此我们似乎察觉到什么，至少可以预测到一个趋势。
沿着这条思路再往下看，如果有四个人ABCD，那么就可以分为AB同天，AC同天，AD同天，BC同天，BD同天，CD同天，ABC同天，ABD同天，ACD同天，BCD同天，ABCD同天。情况似乎多了很多！试想如果按照这种方法计算到40个人，那将是一件相当复杂的事情。其实我们可以换个思路解决这个问题。如图2-1所示。整个图表示所有的可能，即概率1，其中外层的圆圈（不含内层圆圈）表示至少有两个人生日同天的可能，那么内层的圆圈就表示所有人生日都不是同一天的可能。既然外层圆圈部分很难求，我们就要通过逆向思维，求内层圆圈的部分，然后用整体减去内层圆圈部分就得到我们想要的外层圆圈部分。

图2-1 生日巧合的图形示意
如图2-1所示，我们将至少两个人同一天生日的概率称为P1，将所有人生日都不同天的概率称为P2，可知P1+P2=1，因此P1=1- P2。这样我们就成功地将求P1的问题转换成求P2的问题。
为了简单起见，我们还是先以一个班两个人为例引入。现在我们先求AB生日不是同一天的概率，然后再求AB生日同天的概率。无论A哪天出生，B只要不和A同天即可，那么365天中B就有364天可以选择，因此AB不同天的概率为364/365=0.997260。AB同天概率为1-0.997260=0.002740。
那么一个班如果三个人呢，在我们换成求ABC三个人生日都不同天的概率后，与两个人的情况相比，也并没有复杂到哪里去。无论A哪天出生，B都有364天可以选择，C要保证跟AB都不同天，所以C在365天中有363天可以选择，也就是A的生日和B的生日这两天都不能选择，因此ABC三个人不同一天出生的概率为(364/365)*(363/365)=0.991796。ABC至少有两人同天的概率为1-0.991796=0.008204。
如果班里人数更多呢，算法都是一样的，一点也不复杂。计算所有人生日不同天概率的时候，第一个人总是可以选择任意一天，第二个人可以选择365-1=364天，第三个人可以选择365-2=363天，第四个人可以选择365-3=363天，第十个人可以选择365-9=356天，第N个人可以选择365-N+1天。
根据上述概率计算公式，我们很容易得出表2-3的结论：

表2-3 至少两人同天生日的概率

$$\begin{array}{ll}
\text{人数} & \text{至少两人生日同天概率} \\
2 & P=1-\dfrac{364}{365}=0.002740 \\
3 & P=1-\dfrac{364}{365}\times\dfrac{363}{365}=0.008204 \\
10 & P=1-\dfrac{364}{365}\times\dfrac{363}{365}\times\cdots\times\dfrac{357}{365}\times\dfrac{356}{365}=0.116948 \\
23 & P=1-\dfrac{364}{365}\times\dfrac{363}{365}\times\cdots\times\dfrac{344}{365}\times\dfrac{343}{365} =0.507297 \\
40 & P=1-\dfrac{364}{365}\times\dfrac{363}{365}\times\cdots\times\dfrac{327}{365}\times\dfrac{326}{365}=0.891232
\end{array}$$
        根据计算结果可以看出，当一个班人数只有10人的时候，出现重复生日的概率刚刚超过百分之十，当一个班的人数达到23人的时候，出现重复生日的概率就已经过半了，如果一个班的人数达到40人，出现重复生日的概率就接近百分之九十了。
        这么一看有两人生日同一天真的一点也不稀奇！

战巡

回复 4# 不问旧梦


这个问题早该被吐槽了，算法是这么回事，但基础假设明显是错的

谁告诉你一个人的生日对全年是均匀分布了？
我告诉你，统计数据表明中国人口中11月生日的人几乎相当于其他月份的两倍！其他各月差异倒不是很大
按月份统计的数据不太好找，还参考过一些按星座统计的数据，也有类似结果，天蝎座的人（10.24-11.22）占总人口约15%，远高于平均水平

就算你用均匀分布作为先验，一次抽样下来后验分布也会被带偏很多的好吧，而且样本量越大越是如此

神烦这些想当然的先验概率，尼玛简直各种胡来

不问旧梦

2.3 孩子该不该接种疫苗
当某种儿童致命性传染病疫情爆发时，父母经常会带着孩子去接种疫苗，接种疫苗之后，就会对传染病产生抗体，从而不会感染这种致命性传染病，因此只要社区宣传某种疫苗对某种传染病有抑制作用，许多父母总是非常热衷于带着孩子去打疫苗，即便宣传中已经明确指出疫苗会有一定很小的几率产生某种副作用而使接种者丧命。但并非所有的父母都会给自己的孩子接种，为什么他们做出这样的选择呢？能否用更加科学理性的方法解释这种现象？你的孩子究竟该不该接种疫苗？
分析：
假设有一种儿童致命性传染病疫苗，如果选择不接种，那么有5%的概率因被感染传染病而死亡，如果接种了疫苗，那么大约有2%的接种者会因为疫苗的副作用而丧命，单凭这两个数字来讲，父母肯定愿意让自己的孩子选择接种疫苗，因为接种之后生还的概率是不去接种的2.5倍。但实际情况并没有这么简单。
首先可以肯定的是，如果所有儿童都不选择接种疫苗肯定不是一个最好的结果，因为最终会有5%的儿童会死于感染致命性传染病，实际上这是一个最差的结果。如果所有儿童都选择接种疫苗，那么最终会有2%的儿童死于疫苗的副作用，这样的结果要好得多，但这却不是最好的结果，因为还有方法让死亡率比2%还要低。
在探寻如何让死亡率低于2%时，我们首先要明确一个概念，就是随着接种疫苗儿童的比例不断升高，没有接种的儿童感染致命性传染病的概率会随之降低。听起来似乎有点绕，怎么理解这句话呢？
我们假设有50%的儿童接种了疫苗，由于这50%的儿童已经确认不会感染该致命性传染病，因此他们传染给其他人的几率为零。那些没有接种的儿童感染致命性传染病的几率就会下降一半，从5%下降到2.5%，因为可能传染给他们的儿童少了一半。
这个概念一定要理解，我们可以把这个概念抽象出来，如果接种疫苗的儿童比例为P，那么没有接种疫苗的儿童死于致命性传染病的几率为(1-P)×5%。如果有50%的儿童接种了疫苗，那么没有接种疫苗的儿童死于感染致命性传染病的几率为(1-50%)×5%=2.5%。这时候的平均死亡率为50%×2%+50%×2.5%=2.25%。
如果有60%的儿童接种疫苗呢？这时候没有接种疫苗的儿童死于致命性传染病的几率降低到(1-60%)×5%=2%。可以看出当接种儿童比例达到60%时，因为感染致命性传染病而死亡的概率与疫苗副作用死亡的概率相同，此时平均死亡率为60%×2%+40%×2%=2%，这与所有儿童都接种疫苗的效果是相同的。
大家想一想，如果儿童接种疫苗的比率达到70%会发生什么呢？细心地读者恐怕已经猜出了结果，就是接种疫苗的死亡率反而要高于不接种疫苗的死亡率！为什么会这样呢？因为接种疫苗的死亡率2%是固定不变的，而不接种疫苗感染致命性传染病的死亡率已经降低到(1-70%)×5%=1.5%，此时的平均死亡率为70%×2%+30%×1.5%=1.85%。不难看出，此时的死亡率1.85%要低于所有人都接种疫苗时的死亡率2%。我们可以通过表2-4看出随着接种疫苗比例的增加，各种死亡率的变化趋势。
表2-4 接种疫苗比例及死亡率变化趋势
接种比率%        疫苗副作用死亡率%        感染传染病死亡率%        平均死亡率%
0                               2                          5                              5
20                               2                          4                            3.6
50                               2                         2.5                           2.25
60                               2                          2                             2
70                               2                         1.5                            1.85
80                               2                          1                            1.8
100                          2                           0                               2

还有一个问题就是接种比例达到多少的时候死亡率最低呢？我们还是假设有P比例的儿童接种了疫苗，那么没有接种疫苗而感染传染病的儿童的死亡率为(1-P)×5%，这样我们就可以得到平均死亡率的公式为P×2%+(1-P)×(1-P)×5%。这里面第二项有两个(1-P)，其中第一个(1-P)表示没有接种疫苗儿童的比例，而后面的(1-P)×5%表示由于有P比例的儿童接种了疫苗而导致这种疾病传染率降低之后的传染概率，这样(1-P)×(1-P)×5%就表示没有接种疫苗的儿童的死亡率。通过将多项式展开我们得到以下公式：
公式中P表示平均死亡率，P为接种疫苗儿童的概率。我们将这个公式看做一个函数，P是自变量，我们求函数P的最值。如果我们把函数图像画出来，大概就是图2-2的形状，其中自变量P的取值范围为[0-1]。

图2-2 函数的图像
由于二次项系数大于零，所以整个函数开口向上，没有最大值，只有最小值，这是符合我们需求的，因为我们要求的就是死亡率的最小值，而非最大值。利用一元二次函数求最值公式，我们可以得到最小值的一组解，如图中曲线上的点所处的位置，当接种比率达到80%的时候死亡率达到1.8%的最低值。
但是在现实生活中，这种达到死亡率最小值的情况一般是不会发生的，为什么呢？道理其实很简单，因为当接种疫苗的死亡率高于不接种疫苗的死亡率时（对本题目而言，也就是当儿童接种比例超过60%时），父母就会倾向于不给孩子接种疫苗了。试想一个正常的父母如果知道接种疫苗的死亡率更高的时候，谁会去为了降低平均死亡率而让自己的孩子去承担更高的风险呢？

力工

作者搞推销？至少说个优惠方式啊。

不问旧梦

回复 7# 力工
我不是搞推销，只是分享而已。

不问旧梦

2.4单眼皮的基因密码
单眼皮的小明看起来非常精神，也特别讨人喜欢，可他却怎么也高兴不起来，因为小明喜欢双眼皮，特别羡慕双眼皮的小朋友。让小明更加疑惑不解的是，爸爸妈妈都是双眼皮，为什么唯独自己是单眼皮呢？夜深人静的时候，躺在床上辗转反侧的小明甚至怀疑自己是不是爸爸妈妈从孤儿院里抱来的。妈妈知道后，从遗传学的概率角度给小明分析了单眼皮的原因，解开了小明的心结。你知道妈妈是怎样跟小明解释的吗？

分析：
首先简单了解一下遗传学的基本知识。我们身体上的许多特征都是从父母身上遗传过来的，比如单眼皮还是双眼皮，卷舌还是平舌，翘拇指还是直拇指等。这些特征都是有基因决定的，而这些具有遗传特征的基因都是成对存在的。如果我们用单个字母表示一个基因，那么成对的基因就可以表示成XY的形式。这里面最重要的一句话就是，遗传基因是成对存在，X和Y共同决定了人体的某一个特征。
还有一个要点是显性基因和隐性基因，为了更好地理解这个概念，我们来看一个例子。假设卷舌基因是A，平舌基因是a，那么组成基因对可能是AA、Aa、aa。不难理解AA表示卷舌，aa表示平舌，那么Aa表示什么呢？答案是卷舌。因为卷舌是显性基因，也就是说在基因对里只要出现了该基因，就会表现出相应特征。在基因对Aa里面显性基因是卷舌A，那么表现出来的就是卷舌特征。对应的平舌基因就是隐性基因，也就是只有基因对都是平舌基因的时候（即aa）才显示平舌特征。这样看来，平舌的人基因一定是aa，而卷舌的人基因可能是Aa，也可能是AA。
我们再看看小明对于单眼皮的困惑。如果双眼皮是隐性基因的话，意味着父亲的基因是aa，母亲的基因是aa，那么无论怎么组合，小明的基因必然是aa，也就是说小明是双眼皮的概率为100%！那样小明岂不是真的是从孤儿院领养的了？事实并非如此。由于小明是单眼皮，因此可以推断双眼皮是显性基因。已知父母都是双眼皮，那么各种组合如表2-5所示。
表2-5 双眼皮遗传基因

在遗传中，父亲从自己的一对基因中提供一个，母亲也从自己的基因中提供一个，即孩子的一对基因中一个来自父亲，一个来自母亲。因此父母结合生育的后代的基因组合会有2×2=4种可能。
如果父亲基因是AA，母亲基因也是AA，从表2-5所示可知小明的基因组合只可能是AA，即小明基因是AA的概率就是100%，因此小明是双眼皮的概率为100%，这种假设与实际情况不符。
如果父亲基因是AA，母亲基因是Aa，那么小明基因是AA的概率是50%，基因是Aa的概率为50%，因此小明是双眼皮的概率仍为100%，这种假设也与实际情况不符。
如果父亲基因是Aa，母亲基因也是Aa，那么小明基因是AA的概率为25%，基因是Aa的概率为50%，基因是aa的概率为25%，因此小明是双眼皮的概率为75%，单眼皮的概率为25%。也就是说，只有在父母的基因都是Aa的情况下，才有可能出现单眼皮的子女。既然小明是单眼皮，那么父母的基因一定都是Aa。
基因研究的一个重大成果就是解释了许多遗传病的原理。对于隐性基因的遗传疾病，如果父亲为该遗传病患者，其基因一定是aa（我们仍用A表示显性基因，a表示隐性基因），而母亲正常，其基因就可能是Aa或者AA。这样可能的组合如表2-6所示。
表2-6 隐性遗传基因

        如果母亲基因是AA，那么子女的基因必然为Aa，也就是说子女的患病概率为0%，但是100%是遗传病基因携带者，这意味着儿女如果今后结婚生子，孙子女就有隔代患病的可能，当然这也取决于儿女配偶是否携带该遗传病基因。如果母亲基因是Aa，那么子女基因是Aa的概率为50%，基因是aa的概率为50%，因此子女的患病为50%，而且100%是遗传病基因携带者。
表2-7 显性遗传基因及患病概率

        表2-7给出了显性基因遗传疾病的所有基因组合可能以及对应的患病概率，读者如果有兴趣，可以自己计算一下隐性基因遗传疾病对应的患病概率。
        这样看来小明大可不必担心自己的身世了，因为即使他的父母都是双眼皮，小明本人是单眼皮仍然有25%的概率。
知识扩展：色盲的遗传图谱
        色盲是一种先天性的色觉障碍，人们已经对这个疾病有了深入的研究。一般认为红绿色盲属于X伴性隐性遗传，这是怎么一回事呢？我们在这里简单地介绍一下。
        人体中只有一对性染色体，它决定了人的性别。男人的性染色体为XY，女人的性染色体为XX。因此一对夫妇生下的小孩是男孩或是女孩的概率都是1/2，如图2-3所示。

图2-3 性染色体组合的规律
如图2-3所示，父亲的性染色体一定是XY，母亲的染色体一定是XX，这样他们生下孩子的性染色体来源及性别就可能有以下几种可能：
（1）父亲的X染色体+母亲的第一个X染色体 = XX，女孩；
（2）父亲的X染色体+母亲的第二个X染色体 = XX，女孩；
（3）父亲的Y染色体+母亲的第一个X染色体 = XY，男孩；
（4）父亲的Y染色体+母亲的第二个X染色体 = XY，男孩；
男孩的Y染色体来自父亲，X染色体来自母亲；女孩的一个X染色体来自父亲，一个X染色体来自母亲。因此一对夫妇生下的小孩男孩和女孩的概率都是1/2，也正因为此，人类的男女比例应保持在1：1左右才算正常。
        每个性染色体上都有遗传物质DNA（基因）。由位于X染色体上的隐性致病基因引起的遗传病称做X伴性隐性遗传病，常见的X伴性隐性遗传病有血友病、色盲、家族性遗传性视神经萎缩等。
对于色盲而言就是一种典型的X伴性隐性遗传病。我们用b表示色盲的致病基因，B表示色盲的非致病基因。b或者B都需要附着在X染色体上，我们用Xb表示附着了色盲致病基因b的X染色体，用XB表示附着了色盲非致病基因B的X染色体。色盲基因属于隐性基因，对于男性而言，因为仅有一条X染色体，所以如果他的性染色体为XbY，那么他一定就是色盲患者，如果他的性染色体为XBY，那么他就不是色盲患者；对于女性而言，因为有两条X染色体，因此需有一对致病的等位基因才会表现异常，即只有她的性染色体为XbXb才表现为色盲，其它的情况下（XBXb，XBXB，XbXB）都表现正常。
了解了以上的知识我们就可以弄清色盲的遗传规律了。
一对夫妇，如果丈夫和妻子都正常，那么他们的孩子是色盲的概率是多少呢？
因为丈夫正常，所以丈夫的性染色体为XBY。虽然妻子表现正常，但因为色盲基因是隐性基因，所以妻子的性染色体可以是XBXb，或者XBXB。所以孩子的色盲几率需要分类讨论。
（1）妻子的性染色体为XBXB。
这种情况下孩子是不会遗传色盲的，因为父母的染色体中都不具有色盲的致病基因。
（2）妻子的性染色体为XBXb。
这种情况下孩子患色盲的几率如图2-4所示。

图2-4 孩子患色盲的几率图谱
如图2-4所示，如果妻子的性染色体为XBXb，那么他们的女儿是不会患色盲的，但是会有1/2的可能会携带致病基因而遗传给后代。相比之下，他们的儿子有1/2的可能患有色盲，另有1/2的可能是正常的，且不携带色盲的致病基因。
一对夫妇，如果丈夫和妻子都是色盲，那么他们的孩子是色盲的概率是多少呢？答案是他们的孩子（无论男孩还是女孩）都会是色盲患者。
如果一对夫妇，丈夫是色盲患者，妻子正常，他们的孩子是色盲的概率是多少呢？如果一对夫妇，丈夫正常，妻子是色盲患者，他们的孩子是色盲的概率又是多少呢？有兴趣的读者可以自己算一下。

战巡

回复 9# 不问旧梦


唉，都是些什么玩意，错漏百出！

你们以为基因都是些什么东西？可以这样随意摆弄么？靠高中那点三脚猫统计就能算出这些来？有这么简单生物学家都不用混了！

1、关于卷舌
卷舌与否是不是遗传问题现在争议大了去了，一直以来就没什么确凿证据表明卷舌是遗传造成的，更没有证据表明它是什么显性遗传，不知道特么哪里来的谣言说卷舌跟遗传有关，你不知道有人通过练习习得了卷舌？你不知道1970年有双生子实验表明同卵双胞胎和异卵双胞胎之间的卷舌相同率相差无几？

2、关于重睑（双眼皮）
现在也同样是没有研究清楚的东西，西方由于绝大部分人都是重睑，对这个不怎么关心，国内对此研究也不多，几篇调查语焉不详，而且只是停留在人口调查进而推断的阶段，根本没有做任何基因层面的分析
就实际调查结果而言，我会告诉你有人双眼一单一双么？我会告诉你有两单睑的父母生出重睑子女么？我会告诉你有人小时候是单睑，长大变重睑么？
你以为基因只有隐形显性？我会告诉你特喵的光是显性就分完全显性、不完全显性（中间显性）、不规则显性、延迟显性、从性显性、共显性这六类么？

3、关于性别
你们都知道性染色体有X、Y，但谁告诉你男女各1/2概率了？难道你们没听过基因是会突变，会出错的么？我会告诉你世上除了XX和XY还有单X、XXY、XXX、XYY、XXYY等一大堆乱七八糟的组合么？而且以上这些异常率加起来甚至达到千分之一这个数量级，只是这些人里面有些外部特征比较明显，如XXX和XYY，就会表现为女性和男性，问题是像XXY这些就会出现混乱，性征不明、生殖能力异常等一大堆问题粗线
综上，这些乱七八糟一插进来男女的概率可就不是各半了，具体多少我不知道，反正你得各分出一部分比例给这些性别异常的人们

4、关于色盲
这说法本身就很坑，难道你们不知道色盲有很多种的么？色盲分一类二类三类色盲还有全色盲，可能还有其他一些子分类，一类二类是红绿色盲，已知与X染色体有关，但我会告诉你三类色盲（蓝黄色盲）已知和性染色体无关么？另外我会告诉你导致各种色盲的基因分布在19个染色体56段基因上么？光说个色盲性状就往X染色体上靠？也太胡闹了吧！

劳资这学期在上一门生物统计，喵了个咪的里面什么马尔科夫链、什么蒙特卡罗抽样、什么泊松回归模型，无所不用其极啊，喵的高中这点三脚猫统计来玩基因？别逗了！

敬畏数学

回复 10# 战巡
统计专家有么什么值得推荐的层次不是很高的统计书籍可以读读的。

战巡

回复 11# 敬畏数学


最基础的《概率论与数理统计》就行了，只需要高数基础就能看懂

不问旧梦

2.5街头的骗局
记得小时候在街边巷尾经常有一伙人以免费大抽奖为噱头吸引大家参与，参与者一般都会被花言巧语和表面文章所欺骗，以为自己能捡个大便宜，殊不知里面暗藏了机关。我们下面就来看看这种抽奖游戏是怎么骗人的。

一种比较常见的抽奖游戏是摸棋子。游戏规则是在一个单面敞口的盒子里有十二个象棋子，六个红色的兵和六个黑色的卒，游戏的参与者从盒子里面随机摸出六个棋子，奖项如表2-8所示：


乍一听这个游戏非常划算，在所有的摸奖结果里面只有一种结果需要花钱买东西，听起来好像稳赚不赔，可实际情况却大相径庭，大多数的游戏参与者最后都乖乖的掏钱买了所谓的进口沐浴套装，这个所谓的进口商品只是一个包装上全是英文的三无产品，价值不会超过两块钱。其实这个貌似出人意料的结果并不奇怪，我们从概率的角度可以轻而易举的揭穿这个骗局。
分析：
既然已经给这个游戏下了骗局的定论，读者想必也不难猜出骗子是如何行骗的。看起来只有一种情况需要花钱买东西，实际上由于每种情况的概率不同，因此不能简单以种类的多少来衡量中奖的比例。我们在图2-5中用黑白两色表示黑卒和红兵，下面就计算一下每种结果的概率具体是多少。

图2-5 红兵和黑卒


首先看一下一共有多少种抽取结果。游戏规则是从十二个棋子中随机抽取六个，这符合排列组合中组合的概念，因此抽取可能有：
$$C_{12}^{6}=\frac{12\times11\times10\times9\times8\times7}{6!}=924$$
我们再看一下抽取五个红兵和一个黑卒有多少种可能，这其实等价于抽取一个红兵和五个黑卒的可能。抽取方法相当于从六个红兵中抽取五个红兵，然后再从六个黑卒中抽取一个黑卒，因此抽取可能有： $$C_{6}^{5}\times C_{6}^{1}=\frac{6\times5\times4\times3\times2}{5!}\times\frac{6}{1!}=36$$

通过上面得到的结果我们可以算出一等奖的中奖概率为7.7922%。根据同样的计算方法我们可以得到表2-9所示各个奖项的中奖概率：
表2-9 五个奖项分别的中奖率

通过计算各个奖项的获奖概率不难看出，超过九成的参与者会落到二等奖和三等奖的区间，只有一小部分会落入最终免费得到奖金的特等奖和一等奖区间。如果一百个人参与游戏的话，骗子会赚(-50)×0.2164+(-10)×7.7922+0×48.7013+8×43.2900=257.578元！所以说天下没有免费的午餐，这种看起来稳赚不赔的游戏背后竟然也隐藏着一个陷阱，所以小便宜还是不要贪图为好。
知识扩展：排列与组合
排列组合是数学中的一个基本概念，也是研究概率统计的基础。排列与组合二者既有联系又有区别。所谓排列就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序，而组合指的是从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，而不考虑排序问题。我们可以通过下面这两个例子来理解排列与组合的概念。
        问题一：从编号为1~5的5个球中任意摸取3个球，共有多少种可能的结果？
这就是一个典型的组合问题。因为题目中要求计算摸到3个球有多少种可能的结果，而每一个结果只是一组编号的组合，而与这组编号的排列无关。例如摸到的三个球编号分别是1，3，5，那么这个组合就是一种结果，它完全等价于组合（1，5，3），（3，1，5），（3，5，1），（5，1，3），（5，3，1）。也就是说这里我们考虑的重点是摸到的3个球都包含了哪些编号，而并不考虑这些编号的球是怎样排列的。
计算组合数的方法很简单，可以套用下面的公式：$$C_m^n=\frac{m\times(m-1)\times\cdots\times(m-n+1)}{n!}$$
其中 表示从m个数中任取n个数可能的组合数。很显然，当m=n时，上述公式变为：$$C_{m}^{m}=\frac{m\times(m-1)\times\cdots\times1}{m!}=\frac{m!}{m!}=1$$
这里要计算从编号为1~5的5个球中任取3个球可能的组合数，应用上面的公式便可以很容易地计算出这个组合数为$$C_{5}^{3}=\frac{5\times4\times3}{3!}=10$$
对应的每种组合结果如表2-10所示。
表2-10 从编号为1~5的5个球中任取3个球可能的组合
结果编号        球的编号组合
第1组结果        1，2，3
第2组结果        1，2，4
第3组结果        1，2，5
第4组结果        1，3，4
第5组结果        1，3，5
第6组结果        1，4，5
第7组结果        2，3，4
第8组结果        2，3，5
第9组结果        2，4，5
第10组结果        3，4，5
        问题二：奖箱中共有5个球，编号为1~5，开奖嘉宾从奖箱中随机摸取3个球，并组成一个3位数号码，请问有多少种中奖号码？

与问题一不同，这是一个典型的排列问题。从问题一的答案中我们知道从5个球中摸取3个球，可能有10种不同的结果。但是这里还要将摸到的3个球的编号组成一个3位数的号码作为中奖号码，因此我们还要考虑一下这3个球的编号的排列问题。例如开奖嘉宾摸到得三个球的编号分别是1，3，5，那么将这3个编号组成一个3位数就可能有：135，153，315，351，513，531这6种排列方式，因此这里不但要考虑摸到的3个球的编号是什么，还要考虑这3个编号如何排列组成一个3位数。
计算排列数的方法也可以套用下面这个公式：$$P_m^n=m\times(m-1)\times\cdots\times(m-n+1)$$
其中 $P_m^n$ 表示从m个数中任取n个数并进行排列所得到的全部结果的个数。很显然，当m=n时，上述公式变为：$$P_m^m=m\times(m-1)\times\cdots\times1=m!$$
这样的排列也称为m的全排列。
问题二的描述是从编号为1~5的5个球中任取3个球，并将其编号进行排列组成一个3位数号码，要计算3位数的号码共有多少个。其实就是计算 $P_5^3$ 是多少。根据上述公式可得
$$P_5^3=5\times4\times3=60$$
也就是说共有60种中奖号码。

不问旧梦

回复  不问旧梦


唉，都是些什么玩意，错漏百出！

你们以为基因都是些什么东西？可以这样随意摆弄么？靠 ...
战巡 发表于 2015-11-4 15:33

我这个只是在初等数学论坛里边发的，一般人能看懂的，您说的太深奥了。
不过也希望您再多多指出问题，这些都是我看的书里边的，觉得您说的挺好的。

战巡

回复 13# 不问旧梦


又是不考虑实际情况的案例

中国象棋棋子这种东西多半是刻上去的，甚至有塑料棋子是字突出来的，稍微练习一下就可以用手摸出你手中是啥棋子，何况这里只有两种，兵和卒两个字的差异这么大，手感是完全不同的
所以如果真有骗子敢这么玩的话他会赔死

另一方面即便我算你摸不出来好了，计算也不是这样算的
不同层次的玩家有不同策略，这里重点就在二等奖的再来一次
懂行的知道这是骗局，根本就不会去参加这种游戏，稍微有点头脑或者想玩玩的可能会只玩一次，如果得到二等奖马上停止，在这种情况下才有上面计算出来的概率和期望

但如果有蠢蛋完全不懂，抽到二等奖还继续玩的话，最后会算出特等奖、一等奖、三等奖概率$\frac{1}{237}, \frac{12}{79},\frac{200}{237}$，最后这个高达84%
期望算下来玩一局骗子收益期望大概$6.7$

不问旧梦

2.6先抽还是后抽
班主任老师想在班里选一名学生代表整个班级参加升旗仪式，同学们报名非常踊跃，大家都想争得这份荣誉。最后僵持不下，有八名同学符合申请资格，为了公平起见，班主任老师通过抽签决定最终的结果。八位同学争先恐后的想第一个抽签，没有人愿意排在最后，因为大家都觉得先抽的话更加有利，抽中的概率更大，事实真的是这样么？抽签的先后顺序会不会影响抽签结果呢？
分析：
我们人为的给每位同学定一个抽签顺序，从第一位抽签的同学开始，计算一下每一位同学抽中的概率是多少。

图2-6 同学甲抽签的初始状态
同学甲第一个抽签，这时候处于图2-6所示的状态——八个签都还没有被抽取，其中有一个签代表被抽中（实心的圆圈），可以参加升旗仪式，其余七个签代表未抽中（空心的圆圈），不能参加升旗仪式。同学甲从八个签里面选择一个签，只有一种可能中签，因此中签的概率是1/8=0.125，而未中签的概率是7/8=0.875。

图2-7 同学甲中签后的状态

图2-8 同学甲未中签的状态
同学乙第二个抽签，这时候还剩余七个签，我们分两种情况考虑概率。如果同学甲已经抽中，状态如图2-7所示，那么剩余的七个签无论同学乙如何选择，都不可能抽中；如果同学甲没有抽中，状态如图2-8所示，那么剩余的七个签里面有一个代表中签，同学乙需要在剩余七个签中抽取一个。我们把两种情况的概率相加就是同学乙中签的概率。
$$P=P_1+P_2=\frac18\times0+\left(1-\frac18\right)\times\frac17=\frac18=0.125$$
通过上述的概率计算我们发现，同学甲和同学乙的中签概率是相同的，也就是第一个抽签和第二个抽签的中签概率相同，这个难道是巧合么？为了证明这一点，我们再计算一下同学丙的中签概率。

图2-9 甲或乙中签后的状态

图2-10 甲和乙都没中签的状态
同学丙第三个抽签，这时候还剩余六个签，我们同样用计算同学乙的方法来计算同学丙，还是分两种情况考虑概率。如果同学甲或者同学乙已经抽中，状态如图2-9所示，那么剩余的六个签无论同学丙如何选择，都不可能抽中；如果同学甲和同学乙都没有抽中，状态如图2-10所示，那么剩余的六个签里面有一个代表中签，同学丙需要在剩余六个签中抽取一个。我们把两种情况的概率相加就是同学丙中签的概率。
$$P=P_1+P_2=\left(\frac18+\frac18\right)\times0+\left(1-\frac18-\frac18\right)\times\frac16=\frac18=0.125$$
我们用同样的方法可以计算出其他六名同学的中签概率，我们将全部八位同学的中签概率用表2-11记录下来。
表2-11 每位同学中签的概率

通过观察表2-11的结果不难发现，每个学生的无论排在第几个抽签，中签概率是相同的。之所以人们在很多情况下愿意先抽，多半是因为一种心理作用。人们担心一旦前面的人抽中的话，自己就没有机会了，如果先抽的命运肯定会掌握在自己手中，但是被忽略的一点是，如果前面的人没有抽中，那么后面的人抽中的几率就会增加，综合两种情况，可以得出中签概率不受抽签先后顺序影响的结论。
知识扩展：条件概率与全概率
条件概率是指假设有两个事件A和B，在事件B已经发生的情况下事件A发生的概率，也称为B条件下A的概率。条件概率用公式表示如下：
$$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}$$
在条件概率公式里，P(A|B)表示条件概率，也就是事件B发生的情况下事件A发生的概率，P(AB)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。公式看起来似乎有些抽象，我们通过一个具体的例子来说明条件概率公式是如何运用的。
假设有三个骰子，已知在掷出的结果中三个骰子的点数都不同，那么三个骰子中含有六点的概率是多少？
在运用条件概率公式时首先要确定事件A和事件B，对于掷骰子的问题来说，事件A是“三个骰子中含有六点”，事件B是“三个骰子中点数各不相同”。
明确了两个事件之后，首先要求解事件B发生的概率，也就是三个骰子点数各不相同的概率。这个问题相对比较简单，我们只需要知道所有点数组合的种类以及其中三个骰子点数各不相同的组合种类就能计算出事件B的概率。由于每个骰子有六种可能的点数，因此三个骰子所有的点数组合有6×6×6种；要保证三个骰子点数各不相同，第一个骰子有六种可选的点数，第二个骰子不能与第一个骰子点数相同，因此有五种可选的点数，而第三个骰子与前两个点数都不能相同，因此有四种可选的点数，综上所述，三个骰子点数各不相同的组合有6×5×4种，由此我们可以得到事件B发生的概率：
$$P(B)=\frac{6\times5\times4}{6\times6\times6}=\frac59$$
接下来就要求解事件A和事件B同时发生的概率，也就是三个骰子点数各不相同并且其中有一个六点的概率。同理，我们也需要通过知道所有点数组合的种类以及其中三个点数各不相同并且包含六点的组合种类，进而计算出事件A和事件B同时发生的概率。我们已知其中有一个骰子的点数为六点，这个骰子可以是三个骰子中的任意一个，第二个骰子为了保证点数各不相同因此只有五种点数选择，第三个骰子只有四种点数选择，综上所述，三个骰子点数各不相同并且其中有一个六点的组合有3×5×4种，由此我们可以得到事件A和事件B同时发生的概率：
$$P(AB)=\frac{3\times5\times4}{6\times6\times6}=\frac5{18}$$
最后我们再通过条件概率公式就可以得到如果三个骰子的点数都不同，那么其中含有六点的概率：
$$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac12$$
全概率是将一个复杂的概率问题转化为不同条件下发生的一系列简单概率的求和问题，全概率公式如下：
$$P(A)=P(A|B_1)\times P(B_1)+P(A|B_2)\times P(B_2)+P(A|B_3)\times P(B_3)$$
在全概率公式中，B1、B2…Bn构成了一个完备的事件组，他们两两之间没有交集，并且合并起来成为全集。由于公式是抽象的，不便于理解，我们还是通过一个例子来说明全概率公式如何应用。
假设有三架轰炸机分别携带一枚导弹对敌军堡垒就行轰炸，三架轰炸机命中敌军堡垒的概率分别为0.4、0.5和0.7，如果命中，堡垒被击中一、二、三次后被摧毁的概率分别为0.2、0.6和0.8，那么在三架轰炸机一轮轰炸结束之后敌军堡垒被摧毁的概率是多少？
在全概率公式中，我们首先也要确定事件。事件A为堡垒被摧毁，事件Bn为一共n架轰炸机命中堡垒。根据全概率公式我们可以得到：
$$P(A)=P(A|B_1)\times P(B_1)+P(A|B_2)\times P(B_2)+\cdots+P(A|B_n)\times P(B_n)$$
其中P(A|B1)×P(B1)表示只有一台轰炸机命中堡垒并且将堡垒摧毁的概率；P(A|B2)×P(B2)表示其中两台轰炸机命中堡垒并且将堡垒摧毁的概率；P(A|B3)×P(B3)表示三台轰炸机全部命中堡垒并且将堡垒摧毁的概率。我们将这三个概率相加就得到三架轰炸机经过一轮轰炸后，堡垒被摧毁的概率。
首先分析一下只有一架轰炸机命中堡垒的概率。只有一架轰炸机击中堡垒有三种情况，第一架轰炸机击中而第二架、第三架没有击中，其概率为0.4×0.5×0.3；或者第二架轰炸机击中而第一架、第三架没有击中，其概率为0.6×0.5×0.3；或者第三架轰炸机击中而第一架、第二架没有击中，其概率为0.6×0.5×0.7。综上所述，三架轰炸机只有一架轰炸机命中堡垒的概率为0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7=0.36。
我们再分析一下有两架轰炸机命中堡垒的概率。两架轰炸机命中堡垒仍然有三种情况，第一架、第二架轰炸机击中第三架没有击中，其概率为0.4×0.5×0.3；或者第一架、第三架轰炸机击中而第二架没有击中，其概率为0.6×0.5×0.7；或者第二架、第三架轰炸机击中而第一架没有击中，其概率为0.4×0.5×0.7。综上所述，三架轰炸机有两架轰炸机命中堡垒的概率为0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7+0.4×0.5×0.7=0.41。
三架轰炸机全部命中堡垒的概率为0.4×0.5×0.7=0.14。
最后我们再通过运用全概率公式就可以得到三架轰炸机经过一轮轰炸后，敌军堡垒被摧毁的概率：
$$P(A)=0.2\times0.36+0.6\times0.41+0.8\times0.14=0.43$$
其实我们在计算“先抽还是后抽”这个问题时，应用的就是全概率公式。以计算乙同学中签的概率为例。设A甲表示“甲同学中签”这个事件，A乙表示“乙同学中签”这个事件，因为乙同学是第二个抽签者，所以在乙同学抽签时只存在两种可能的情形——甲同学已中签和甲同学未中签，这里事件A甲和事件┐A甲（表示甲同学未中签，读作A事件的“非”）构成了一个完备组，即P(A甲)+P(┐A甲)=1。因此这里可以使用全概率公式求解乙同学中签的概率：
$$P(A_{\text{乙}})=P(A_{\text{乙}}\mid A_{\text{甲}})P(A_{\text{甲}})+P(A_{\text{乙}}\mid\neg A_{\text{甲}})P(\neg A_{\text{甲}})$$
因为 $P(A_{\text{甲}})=\frac18$, $P(A_{\text{乙}}\mid A_{\text{甲}})=0$, $P(\neg A_{\text{甲}})=\frac78$,  $P(A_{\text{乙}}\mid\neg A_{\text{甲}})=\frac17$，所以 $$P(A_{\text{乙}})=\frac18\times0+\left(1-\frac18\right)\times\frac17=\frac18=0.125$$

不问旧梦

2.7几局几胜
校园里举办乒乓球比赛，对于比赛规则问题大家争论不休，争论的焦点是应该选择三局两胜还是五局三胜。赞成前者的表示三局两胜可以保证比赛快速进行，不会拖得很长；赞成后者的认为五局三胜可以让比赛更加跌宕起伏，保证比赛观赏性。但是细心的体育老师发现一个有趣的现象，凡是赞成三局两胜的大多是乒乓球水平较低的选手，而赞成五局三胜的大多是水平较高的选手，这里面有什么奥秘么？
分析：
为了分析问题，我们先考虑一个最简单的情况。假设同学甲和同学乙进行比赛，同学甲的水平略高，每局比赛获胜的概率为60%，而同学乙的水平稍逊，每局比赛获胜的概率为40%。这里只考虑两个人都正常发挥，而不考虑某人超水平发挥或发挥失常的情况。如果是一局定胜负，也就是只比赛一局，那么比赛结果只能是1:0或者0:1。显而易见，同学甲获得比赛胜利的概率为60%，而同学乙获得比赛的胜率为40%，如表2-12所示。
表2-12 一局定胜负的结果概率


如果赛制是三局两胜，那么比赛结果可能是2:0, 2:1, 1:2, 0:2。我们分别算一下每种比分的概率，如表2-13所示，进而得出同学甲和同学乙取得比赛胜利的概率。
表2-13 三局两胜的结果概率

这里需要解释一下每种概率的计算方法。先看一下2:0的比分概率，该比赛结果表示同学甲连胜两局的概率，由于同学甲每局比赛获胜概率为60%，因此连胜两局的概率为60%*60%，结果为36%，同理可以计算出0:2的概率为16%。
再看一下2:1的比分概率，该结果表示三局比赛中同学甲取胜两局，同学乙取胜一局的概率，很容易想到60%*60%*40%，概率为14.4%。但是该结果需要乘以2，原因是同学乙取胜的一局中可以是第一局或者第二局，也就是同学甲取胜的两局中可以使一三局或者二三局。对于同学甲来说，比赛结果可能是胜负胜或者负胜胜，因此最终结果是2*60%*60%*40%，概率为28.8%，同理可以计算出1:2的概率为19.2%。
通过计算每种比分出现的概率，进而可以得出在赛制为三局两胜的情况下，同学甲获得比赛胜利的概率为36%+28.8%=64.8%，同学乙获得比赛胜利的概率为19.2%+16=35.2%。与一场定胜负的赛制相比，同学甲获胜的概率有所提高，而同学乙获胜的概率反而有所下降，也就是说实力更强的选手获胜的概率更高了。
如果赛制是五局三胜，那么各种比分的概率如表2-14所示。
表2-14 五局三胜的结果概率

通过计算每种比分出现的概率，进而可以得出在赛制为五局三胜的情况下，同学甲获得比赛胜利的概率为21.6%+25.92%+20.736%=68.256%，同学乙获得比赛胜利的概率为13.824%+11.52%+6.4%=31.744%。与一场定胜负和三局两胜的赛制相比，同学甲获胜的概率更高了，而同学乙获胜的概率进一步下降。
通过对比三种赛制不难看出，赛制越短对于水平相对较低的选手越有利，因为爆冷的机会更大了，而赛制越长对于水平相对较高的选手越有利，因为赛制越长越考验选手的实力，实力强的选手比赛获胜的几率便高了。
如果读者感兴趣，可以自行计算一下在七局四胜的赛制下，同学甲和同学乙各自取得比赛胜利的概率。在这里，我们可以根据上面得出的结论推断出，同学甲取胜的概率一定会高于68.256%。
有人可能会提出质疑，国际乒联为了避免中国队一枝独秀的局面，修改比赛规则，由以前的三局两胜改为七局四胜，这样做不是反而更有利于中国队么？这个问题我是这样理解的，如果不考虑每局多少分这个因素，由三局两胜改为七局四胜至少能够让外国选手更大程度生避免被零封的命运，因为三局两胜时中国选手2:0获胜的概率比七局四胜时中国选手4:0获胜的概率要高很多，至少4:1比2:0看起来要友善一些吧。

不问旧梦

2.8森林球
每年春节的时候，逛庙会总是放假期间必不可少的一项娱乐活动，既能够欣赏到民俗文化，又能够体验过年的气氛。尤其庙会里各式各样的游戏类项目，参与其中还有可能收获大奖，着实为新的一年添了些喜气！但是要想中奖似乎不是那么容易。
其中有一种游戏叫做森林球。游戏道具包括一颗弹球和一块布满钉子的木板，木板上的钉子如图2-11所示呈三角形排布。游戏参与者将弹球放入顶端的入口，弹球碰触钉子之后会随机的向左或向右滚动下落，直到碰触到最底端的钉子之后滚入相应的位置，每个位置对应着某一类奖品。奖品的分布一般是越靠近两边的区域奖品越高级，越靠近中间的区域奖品越廉价。这个简单的游戏里面其实就蕴含着概率知识。

图2-11 钉子的排布图
分析：
在小球下落的过程中，向左滚动和向右滚动完全是随机的，因此向左滚动的概率等于向右滚动个概率均为50%。对于小球任何一种行进路线，其概率是完全相等的。假设行进路线A为左右左左右，行进路线B为左左右右右，如图2-12所示，无论哪种行进路线，小球都是经过了五次选择，每次选择向左还是向右的概率都为50%，因此最终行进路线为A的概率等于最终行进路线为B的概率：50%*50%*50%*50%*50%=3.125%。

图2-12 AB两种行进路线
既然每一种行进路线都是等概率的，那么问题就转化为有几种行进路线会使小球落入某一特定区域。假设有五种行进路线会使小球落入2号区域，那么小球落入2号区域最终的概率就是5*3.125%。
根据对游戏规则的描述可以获知，如果小球最终落入1号区域或6号区域，游戏参与者获得的奖品价值最高，因为落入这两个区域的概率相对于其他区域要低，我们就来看一下小球落入这两个区域的概率究竟是多少。
如果小球最终落入1号区域，其行进路线必然是一路向左，也就是每次与钉子发生碰触，小球都要向左滚动下落。在落入1号区域之前总共发生五次碰触，小球具体的行进路线只有唯一的一种：左左左左左，因此落入1号区域的概率为1*3.125%=3.125%。我们可以通过同样的方法确定小球最终落入6号区域的行进路线也只有唯一的一种：右右右右右，概率同样为1*3.125%=3.125%。
如果小球最终落入2号区域，其行进路线必然是：“右左左左左”、“左右左左左”、“左左右左左”、“左左左右左”、“左左左左右”中的一种。经过分析可知一共有五种行进路线会令小球最终落入2号区域，因此落入2号区域的概率为5*3.125%=15.625%。同理可以计算出小球最终落入5号区域的概率同为15.625%。
如果小球最终落入3号区域，其行进路线必然是“右右左左左”、“右左右左左”、“右左左右左”、“右左左左右”、“左右右左左”、“左右左右左”、“左右左左右”、“左左右右左”、“左左右左右”、“左左左右右”其中的一种。经过分析可知一共有十种行进路线会令小球最终落入3号区域，因此落入3号区域的概率为10*3.125%=31.25%。同理可以计算出小球最终落入4号区域的概率同为31.25%。
表2-15列出了森林球落入1~6号每个区域的概率。
表2-15 森林球落入不同区域的概率

通过计算小球落入每个区域的概率不难发现，由于落入1号区域和6号区域的概率的概率相比其他区域要低很多，因此对应的奖品也最为丰厚，但是实际上能够获得奖品的人数只有2*3.125%=6.25%，获得二等奖的人数也不过只占到总人数的2*15.625%=31.25%，而大多数人31.25%*2=62.5%只能拿到安慰奖了。
知识扩展：蒲丰投针与几何概率
如果每个时间发生的概率只与构成该事件区域的长度、面积或者体积成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型。在几何概率模型中，试验中所有可能出现的基本事件有无穷多个，并且每个基本事件出现的可能性相等。
根据上面几何概率模型的定义，我们可以得到几何概率模型中概率的计算公式，也就是事件A发生的概率：

我们通过一个简单的射击问题看一下几何概率模型在现实生活中的应用。在军队的射击比赛中，参赛者需要对一系列同心圆组成的靶子进行射击，只有射中靶心才能计分。假设靶子的半径为10厘米，靶心的半径为1厘米，如果参赛者射中靶子上任一位置都是等概率的，那么不脱靶的情况下，射中靶心的概率是多少？
根据几何概率模型的概率公式我们可以知道，要想求得射中靶心的概率，首先需要计算靶子的面积和靶心的面积，然后通过两者面积的比值得到射中靶心的概率。

第一次用几何形式表达概率问题的例子是著名的蒲丰投针实验。法国科学家蒲丰在十八世纪提出了一种计算圆周率的方法——随机投针法。
在实验过程中，蒲丰首先在一张白纸上画出许多间距为a的平行线，然后用一根长度为l（l<a）的针随即向画有平行线的纸上投掷n次，将针与平行线相交的次数记为m，并计算出针与平行线相交的概率。
蒲丰证明了针与平行线相交的概率与圆周率存在一定的数学关系，并推算出这个概率公式为：
$$P=\frac{2l}{\pi a}$$
有兴趣进一步了解蒲丰投针试验及其概率公式的读者可以参考相关的专业书籍。
        仔细想来，其实“森林球”问题的本质也是一个几何概率问题。由于木板上钉子的几何形状排布的特殊设计，使得小球落入1~6号不同区域的机会也不尽相同，从而导致得到不同奖项的概率也存在着很大的差异。

战巡

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所实话我一直很讨厌所谓“几何概型”这种说法，经过高中这种坑爹说法的误导后，如果你没有在大学学过概率论，那么你将带着这种错误观念一辈子，导致各种误解

基本上现在的概率论教材根本不提所谓“几何概型”这种说法，仅仅把它视为是连续型分布的一种特殊情况——均匀分布
仅仅学过所谓“几何概型”的人对概率密度这个概念理解很差，特喵的基本上就当什么连续分布都是均匀分布，然后各种坑，所谓贝特朗(Brtrand)奇论就是这么出来的

其实高中教材里面本身已经有反例了，就是正态分布，只是教材坑爹没讲清楚，导致很多人对这玩意一知半解，也没意识到它和几何概型是冲突的
如果你按几何概型去尝试解决正态分布的问题（比如身高分布之类的），不用想也知道你会得出错误结论，只不过很奇怪的是人们似乎对某些问题分的很清楚什么时候该用正态（比如身高、体重等），但有些问题那帮人又搞得一团糟（比如你这里的打靶问题，请问有那个2B枪手打靶会是均匀分布的？谁特喵不想打靶心，都瞄着那去打？所以弹着点的分布应该更近似于一个二元正态分布，而不是均匀分布）

所以如果我出这样一个题：在一个正方形内随机取一点，取到左半边（严格的左半边，从正方形正中央开始划分，面积占正方形一半）的概率是多大
在高中答1/2，也许会是对的
但在大学答1/2，劳资一定给你一个大大的叉，然后一句话甩你脸上：劳资告诉你随机而已，告诉你均匀分布了么？
所以正确答案是什么？正确答案是：不知道
因为条件不足，没有给定分布，算是缺条件，这个概率是算不出来的

不问旧梦

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    嗯嗯