来自网友的二阶变系数递推数列求通项

kuing

长风大侠 2023/2/12 8:22:43
a_1=1,a_2=1,a_n=(n-1)a_(n-1)+(n-2)a_(n-2)
见过这种递推数列吗？谢谢！

kuing 2023/2/12 11:22:39
没印象

长风大侠 2023/2/12 13:34:50
感觉好难
这种递推数列，有办法吗？

kuing 2023/2/12 14:03:02
想不到

长风大侠 2023/2/12 14:18:26
好的，谢谢！

kuing 2023/2/12 16:25:37
话说这个有点像“错排公式”那个递推，说不准也有点关系
错排那个是 D(n)=(n-1)*( D(n-1) + D(n-2) ) 就差那么一点点

题目：`a_1=1`, `a_2=1`, `a_n=(n-1)a_{n-1}+(n-2)a_{n-2}`，求 `a_n` 的通项。

正如聊天记录说到，我后来想起了“错排公式”那个递推，其实还真可以仿照求错排通项的那个方法。

首先令 `b_n=na_n`，则 `b_1=1`, `b_2=2`，递推化为
\[b_n=n(b_{n-1}+b_{n-2}),\]
这就和错排递推更像了，于是仿照错排的求法，错排的是两边 `-nD_{n-1}`，那这里就两边 `-(n+1)b_{n-1}` 得
\[b_n-(n+1)b_{n-1}=-b_{n-1}+nb_{n-2},\]
令 `c_n=b_n-(n+1)b_{n-1}`，则 `c_2=-1` 且 `c_n=-c_{n-1}`，所以 `c_n=(-1)^{n+1}`，因此
\begin{align*}
b_n-(n+1)b_{n-1}&=(-1)^{n+1},\\
\frac{b_n}{(n+1)!}-\frac{b_{n-1}}{n!}&=\frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!},
\end{align*}
累加得
\[\frac{b_n}{(n+1)!}-\frac{b_1}{2!}=\frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!}+\frac{(-1)^n}{n!}+\cdots+\frac{-1}{3!},\]
所以
\[a_n=\frac{b_n}n=\frac{(n+1)!}n\left(\frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!}+\frac{(-1)^n}{n!}+\cdots+\frac{-1}{3!}+\frac1{2!}\right).\]

kuing

在想起错排前，其实我还尝试过母函数方法，可是似乎行不通：设形式幂级数
\[f(x)=a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\cdots=\sum_{n=1}^\infty a_nx^n,\]
则
\begin{align*}
f'(x)&=\sum_{n=1}^\infty na_nx^{n-1},\\
x^2f'(x)&=\sum_{n=1}^\infty na_nx^{n+1}=\sum_{n=2}^\infty(n-1)a_{n-1}x^n,\\
x^3f'(x)&=\sum_{n=1}^\infty na_nx^{n+2}=\sum_{n=3}^\infty(n-2)a_{n-2}x^n,
\end{align*}
于是
\begin{align*}
(x^2+x^3)f'(x)&=a_1x^2+\sum_{n=3}^\infty\bigl((n-1)a_{n-1}+(n-2)a_{n-2}\bigr)x^n\\
&=a_1x^2+\sum_{n=3}^\infty a_nx^n\\
&=a_1x^2+f(x)-a_1x-a_2x^2\\
&=f(x)-x,
\end{align*}
即得微分方程
\[(x^2+x^3)f'(x)=f(x)-x,\]
可是我不会解，用 MMA 算出一个完全看不懂嘀式子……

Czhang271828

kuing 发表于 2023-2-12 17:43
在想起错排前，其实我还尝试过母函数方法，可是似乎行不通：设形式幂级数
\[f(x)=a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\cdot ...

移项得 $(x^2+x^3)^{-1}\cdot f(x)-f'(x)=\dfrac{1}{x^2+x}$, 然后如下配凑\[[f(x)\cdot e^{\ln |x|-\ln |1+x|+x^{-1}}]'=\frac{-e^{\ln |x|-\ln|1+x|+x^{-1}}}{x^2+x}.\]我谂应该冇初等解喇.

kuing

Czhang271828 发表于 2023-2-12 19:36
移项得 $(x^2+x^3)^{-1}\cdot f(x)-f'(x)=\dfrac{1}{x^2+x}$, 然后如下配凑\[[f(x)\cdot e^{\ln |x|-\ln  ...

学习鸟，配凑大概是酱紫吧：由于
\[\left(f(x)e^{g(x)}\right)'=f'(x)e^{g(x)}+f(x)e^{g(x)}g'(x),\]
即
\[f'(x)+f(x)g'(x)=\frac{\left(f(x)e^{g(x)}\right)'}{e^{g(x)}},\]
对比原方程，应取
\begin{align*}
g'(x)&=-(x^2+x^3)^{-1},\\
g(x)&=\int-(x^2+x^3)^{-1}\rmd x\\
&=\int-\frac1{x^2}+\frac1x-\frac1{1+x}\rmd x\\
&=x^{-1}+\ln\abs x-\ln\abs{1+x},\\
e^{g(x)}&=e^{1/x}\left|\frac x{1+x}\right|,
\end{align*}
所以
\[f'(x)-f(x)(x^2+x^3)^{-1}=\frac{\left(f(x)e^{1/x}\left|\frac x{1+x}\right|\right)'}{e^{1/x}\left|\frac x{1+x}\right|},\]
这样就凑出来了。
若只考虑 `x>0` 的话，代回原方程就变成
\[\left(f(x)\frac{e^{1/x}x}{1+x}\right)'=\frac{e^{1/x}}{(1+x)^2},\]
所以
\[f(x)=\frac{1+x}{xe^{1/x}}\int\frac{e^{1/x}}{(1+x)^2}\rmd x,\]
积不出鸟。

话说，我又想起其实以前我也试过待定函数来算的：kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=2304，只是当时没想到利用 `e^x` 来简化。