来自人教群的一道抽象函数 $(4-x)f(2x)+2xf'(2x)>0$

kuing

待定一个函数 $y=g(x)$，令 $F(x)=g(x)f(2x)$，则求导得
\[F'(x)=g'(x)f(2x)+2g(x)f'(2x),\]
于是令
\[\frac{g'(x)}{2g(x)}=\frac{4-x}{2x},\]
即
\[\frac{\rmd y}y=\frac{4-x}x\rmd x,\]
两边积分得
\[\int\frac{\rmd y}y=\int\frac{4-x}x\rmd x,\]
即
\[\ln\abs y=4\ln\abs x-x+C_1,\]
故
\[y=C_2e^{4\ln\abs x-x}=C_2x^4e^{-x},\]
取 $C_2=1$，即 $y=g(x)=x^4e^{-x}$，这就得到
\[F'(x)=\bigl(x^4e^{-x}f(2x)\bigr)'=x^3e^{-x}\bigl((4-x)f(2x)+2xf'(2x)\bigr),\]
下略。

乌贼

$f(2x)$的导函数与$f(x)$的导函数$f'(x)$在$2x$的值是否一样。

爪机专用

回复 2# 乌贼

当然不一样

尔维特欧文

有初等方法吗？这给学生讲 听不懂

其妙

这儿也一道题，通过积分求原函数的：
forum.php?mod=viewthread&tid=2243&extra=page=2

爪机专用

回复 4# 尔维特欧文
给学生讲?? 跳过算了吧，要么就用专门浪费题目的特殊值法好了。

爪机专用

话说，题目前面标着的"原创"指的是谁? 请他来讲好了

青青子衿

话说，题目前面标着的"原创"指的是谁? 请他来讲好了
爪机专用 发表于 2014-1-21 17:18

来源于：2014年重庆一中高2015级高二上期期末考试

realnumber

有没不用积分的办法，构造一个特别的函数或形式?

goft

类似的题：
tieba.baidu.com/p/2836642343

kuing

回复 10# goft

数据大一点而已，方法大概是一样的。

kuing

尔维特欧文 发表于 2014-1-21 09:13
有初等方法吗？这给学生讲 听不懂

经过 这帖 之后，1楼的写法可以改写一下：
在第二步令 `\frac{g'(x)}{2g(x)}=\frac{4-x}{2x}` 之后，再令 `g(x)=e^{h(x)}`，则 `g'(x)=e^{h(x)}h'(x)=g(x)h'(x)`，于是
\[\frac{g'(x)}{2g(x)}=\frac{4-x}{2x} \iff h'(x)=\frac{4-x}x=\frac4x-1,\]
由于熟悉 `(\ln x)'=1/x`，所以可以取 `h(x)=4\ln x-x`，从而 `g(x)=x^4e^{-x}`。
这样学生应该能接受吧？