抽象函数的求值

nttz

$f(f(x)) = x^2-x+1, f(0)=?$

kuing

假设 `f` 存在，设 `f(0)=a`，则
\begin{align*}
f(a)&=f(f(0))=1,\\
f(1)&=f(f(a))=a^2-a+1,\\
f(a^2-a+1)&=f(f(1))=1,\\
f(1)&=f(f(a^2-a+1))=(a^2-a+1)^2-(a^2-a+1)+1,
\end{align*}
于是
\[a^2-a+1=(a^2-a+1)^2-(a^2-a+1)+1,\]
即 `(a^2-a+1-1)^2=0`，得 `a=0` 或 `a=1`，前者代回去显然矛盾，所以只能 `a=1`。

但是，如何证明 `f` 存在呢？

当年这帖 kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=6512 就有过不存在的例子，18# 说的是有两个不同的不动点就不存在，而 8# 动图演示了如果没有不动点则可以构造出无数个 `f`，但现在这题是有两个相同的不动点，结论又如何呢？

nttz

kuing 发表于 2022-8-24 13:48
假设 `f` 存在，设 `f(0)=a`，则
\begin{align*}
f(a)&=f(f(0))=1,\\

为啥0不是？

kuing

nttz 发表于 2022-8-26 20:43
为啥0不是？

如果 a=0 那就 f(0)=0 且 f(0)=f(f(0))=1 矛盾啊

nttz

kuing 发表于 2022-8-26 20:47
如果 a=0 那就 f(0)=0 且 f(0)=f(f(0))=1 矛盾啊

APPSYZY

Do there exist functions $f$ such that $f(f(x))=x^2−x+1$ for every $x$?

APPSYZY

APPSYZY 发表于 2022-9-3 18:45
Do there exist functions $f$ such that $f(f(x))=x^2−x+1$ for every $x$?

链接的内容不仅给出 $f$ 存在性证明，并说明这样的连续的函数是无穷多的，连续可微的函数是唯一的。