函数 $f(f(x))=ax^2+bx+c$ 的问题

hejoseph

定义在实数域上的函数 $f(x)$ 满足 $f(f(x))=ax^2+bx+c$，其中 $a\neq 0$，求 $f(t)$ 能取得的所有值。

hbghlyj

链一个旧文matrix67.com/blog/archives/3951

isee

好难找到一个特殊的， 所以我猜测多半不存在这样的函数，或者有也是极特别的情况，如$$f(f(x))=x^2,$$就是这个最简单的情况，我也没找到结果，汗啦。

其妙

回复  hejoseph
好难找到一个特殊的， 所以我猜测多半不存在这样的函数，或者有也是极特别的情况，如$f(f(x))=x^2$。。。。
isee 发表于 2019-8-23 11:09

最近在网上有一道“题”，已知$f(f(x))=x^2+1$，求$f(1)$的值。
下面还有一道：

kuing

好难找到一个特殊的， 所以我猜测多半不存在这样的函数，或者有也是极特别的情况，如$$f(f(x))=x^2,$$就是这个最简单的情况，我也没找到结果，汗啦。
isee 发表于 2019-8-23 11:09

这个毕竟可以是 $f(x)=\abs x^{\sqrt2}$

isee

回复 5# kuing

擦，$\sqrt 2$次，存在性成立了。

青青子衿

给出一族特例（而且定义域还不是完整的）：
\begin{align*}
f\left(x\right)&=
\begin{cases}
A\cos\left(\sqrt{2}\arccos\left(\dfrac{x-b}{A}\right)\right)+b
&\,&x\in\left[A\cos\left(\dfrac{\pi}{\sqrt2}\right)+b,\,A+b\right]\\
A\cosh\left(\sqrt{2}\operatorname{arcosh}\left(\dfrac{x-b}{A}\right)\right)+b
&\,&x\in\left[A+b,\,+\infty \right]
\end{cases}\\
\\
f\left(f\left(x\right)\right)&=\frac{2}{A}\left(x-b\right)^2-A+b
\end{align*}

kuing

最近在网上有一道“题”，已知$f(f(x))=x^2+1$，求$f(1)$的值。
下面还有一道：
...
其妙 发表于 2019-8-23 12:52

满足条件的函数似乎有无数个

……

首先看由一点生成一系列点的方法：
假设 `f(x)` 上有一点 `A(m,n)`，即 `f(m)=n`，因为 `f(n)=f(f(m))=m^2+1`，所以就会有另一点 `B(n,m^2+1)` 在 `f(x)` 上，其几何意义如下图所示：

如此类推，可确定出一无穷点列，由此就可以构造满足条件的函数。

首先，令 `f(0)=a\in(0,1)`，可得 `f(a)=f(f(0))=1`，即 `A(0,a)`, `B(a,1)` 在 `f(x)` 上，在线段 `AB` 上任取一点 `C`，然后依次作矩形确定其后的点列 `D`, `E`, `F` 等，那么，当 `C` 动起来，所有的动点画出的轨迹就是满足条件的一个 `f(x)`，动图演示如下：

当然最后还要把它对称到左边才是完整的 `f(x)`，而因为开头的点及取的线段是任意的，所以 `f(x)` 有无穷多个，所以 `f(1)` 的值也无法求，或者说所有的点都无法确定……

isee

回复 8# kuing


这个和2#的图象差不多了，所以，我才理解题的意思。

kuing

回复 9# isee

2# 我没仔细看，应该也是差不多的意思，只不过我是直接从作图的角度出发的，应该更加容易理解……

kuing

如果那二次函数有不动点，情况会复杂很多。

比如改成 `f(f(x))=2x^2-1` 的话，设 `f(1)=a`，则 `f(a)=f(f(1))=2\cdot1^2-1=1`，这样就有 `f(f(a))=2a^2-1` 及 `f(f(a))=f(1)=a`，因此 `2a^2-1=a`，解得 `a=1` 或 `a=-1/2`，同理对 `f(-1/2)` 亦如此。
`f(0)` 也有限个，设 `f(0)=b`，则
`f(b)=2\cdot0^2-1=-1`, `f(-1)=2b^2-1`, `f(2b^2-1)=2(-1)^2-1=1`, `f(1)=2(2b^2-1)^2-1`，
于是有 `2(2b^2-1)^2-1=1` 或 `-1/2`，解得 `b=0`, `\pm1`, `\pm1/2`, `\pm\sqrt3/2`，但检验发现代入 `b=0`, `\pm1`, `-1/2` 会得出矛盾，因此剩下 `b=1/2`, `\pm\sqrt3/2` 这三个没发现矛盾，具体数值如下：
`f(0)=1/2`, `f(1/2)=-1`, `f(-1)=-1/2`, `f(-1/2)=1`, `f(1)=-1/2`（进入循环）；
`f(0)=\sqrt3/2`, `f(\sqrt3/2)=-1`, `f(-1)=1/2`, `f(1/2)=1`, `f(1)=-1/2`, `f(-1/2)=1`（进入循环）；
`f(0)=-\sqrt3/2`, `f(-\sqrt3/2)=-1`, `f(-1)=1/2`, `f(1/2)=1`, `f(1)=-1/2`, `f(-1/2)=1`（进入循环）；
而这同时也说明只能 `f(1)=-1/2`, `f(-1/2)=1`。

但其他的点的点继续推下去还会不会有矛盾？还不知道呢？已经有点晕，有空再玩……

其妙

回复 8# kuing
厉害！研究的这么透彻！动图还做的如此牛逼！
当时有人质疑题目是错误的，因为不同的方法算出来f(1)的值不一样的！
下面还有一道：

isee

回复 12# 其妙

以前简单的研究过一次函数的迭代，我能肯定的是$f(x)=ax+b,a\ne 0$不满足题设。

以上是最简单的情形，没什么争议，其它的，看你们了

kuing

回复 12# 其妙

这个不难。

假设 $f(n)=m\inZ$，则
\begin{align*}
f(m)&=f(f(n))=n-1,\\
f(n-1)&=f(f(m))=m-1,\\
f(m-1)&=f(f(n-1))=n-2,\\
f(n-2)&=f(f(m-1))=m-2,\\
&\cdots
\end{align*}规律很清楚。

显然 `m\ne n` 否则与 `f(f(x))=x-1` 矛盾，下面分两类讨论。

（1）若 `m>n`，设 `m=n+k`, $k\inN^+$，则依上述规律有 `f(m-k)=f(f(n-k))=n-k-1`，即 `f(n)=n-k-1`，而这与所设的 `f(n)=m=n+k` 矛盾！

（2）若 `m<n`，设 `n=m+k`, $k\inN^+$，则依上述规律有 `f(n-k)=f(f(m-k+1))=m-k`，即 `f(m)=m-k`，而这又与开头得到的 `f(m)=n-1=m+k-1` 矛盾！

综上所述，不存在 `n` 使 `f(n)` 为整数。

isee

回复 14# kuing

果然是不存在.

最近函数迭代为什么这么热。。。

kuing

回复 15# isee

布吉岛鸭……

isee

回复 16# kuing

等着何版放大招，一般结论性，应该是有的。

isee

回复 11# kuing

找到个例题，函数迭代与函数方程 王伟叶，熊斌 著

kuing

回复 18# isee

噢 thanks！这样看来我在 11# 改的题就是不存在的了

isee

回复 19# kuing

198页前四行，变换偶看得比较模糊，这种“深度”迭代，还是初次见到，这真是竞赛级别了。
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啧啧啧，明白意思了，厉害厉害了。