切点三角形迭代 趋向等边三角形

hbghlyj

从任意三角形开始，找到切点三角形 $C$。然后找到该三角形的切点三角形 $C_1$，依此类推。这样，最终的三角形 $C_\infty$ 趋近于一个等边三角形

kuing

那不是很显然吗，设第 `n` 个切点三角形三个内角为 `(A_n,B_n,C_n)`，则易知
\[(A_{n+1},B_{n+1},C_{n+1})=\left( \frac{B_n+C_n}2,\frac{C_n+A_n}2,\frac{A_n+B_n}2 \right).\]

hbghlyj

$\begin{pmatrix}
0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\
\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0
\end{pmatrix}^n=\begin{pmatrix}
\frac{1}{3}\left(1-\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}\right) & \frac{1}{3}\left(1-\left(-\frac{1}{2}\right)^n\right) & \frac{1}{3}\left(1-\left(-\frac{1}{2}\right)^n\right) \\
\frac{1}{3}\left(1-\left(-\frac{1}{2}\right)^n\right) & \frac{1}{3}\left(1-\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}\right) & \frac{1}{3}\left(1-\left(-\frac{1}{2}\right)^n\right) \\
\frac{1}{3}\left(1-\left(-\frac{1}{2}\right)^n\right) & \frac{1}{3}\left(1-\left(-\frac{1}{2}\right)^n\right) & \frac{1}{3}\left(1-\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}\right)
\end{pmatrix}$
$\to\pmatrix{\frac13&\frac13&\frac13\\\frac13&\frac13&\frac13\\\frac13&\frac13&\frac13}$当$n\to\infty$

hejoseph

迭代的极限三角形三点应该会趋向一个定点，求出这个定点的位置就比较难了。

hbghlyj

趋向first Brocard point