Sierpiński 曲线的面积

hbghlyj

Mathematica计算出$S_n$的面积为\[\frac{2048}{3} \left(5\times 2^{2 n+1}-7\right)\]如何证明？

1. FindSequenceFunction[Table[RegionMeasure[Polygon @@ SierpinskiCurve[n]], {n, 6}], n]

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hbghlyj

L-system
Alphabet: F, G, X
Constants: F, G, +, −
Axiom: F−−XF−−F−−XF
Production rules:
X → XF+G+XF−−F−−XF+G+X
Angle: 45
可以看到其中“X”出现了四次，然后呢？

爪机专用

从图像上来看就是，下一个图，是上一个图重复四次，再加上中心一个连接起来的块（一个八边形）。
所以是f(n+1)=4f(n)+C，其中C是中心连接块的面积，具体每条边的边长我不清楚，所以不知道C是多少

hbghlyj

爪机专用 发表于 2024-10-30 05:46
从图像上来看就是，下一个图，是上一个图重复四次，再加上中心一个连接起来的块（一个八边形）。
所以是f(n ...

archive.lib.msu.edu/crcmath/math/math/s/s277.htm 寫道：

The limit of the curve illustrated above has Area
$$
A={5\over 12}.
$$

n→∞ 时，其面積與正方形面積之比的極限是 5/12，如何证明？

hbghlyj

如果 $S_n$ 公式没错的话，正方形的边长应该是 $128\times2^n$
$${\frac{2048}{3} \left(5\times 2^{2 n+1}-7\right)\over(128\times2^n)^2}\to\frac5{12}$$