与微信网友讨论的一道函数题：f(x)=f(1/(x+1))

kuing

微信网友发来如下题目及他的解答过程让我瞧瞧有没有问题：

乍看之下没啥问题，不过细想还是觉得不够严谨，整个过程只看到充分性，缺少必要性说明
——包含 `[0,\frac{\sqrt5-1}2]` 的肯定能满足条件，但没有说明不存在更小的区间也能满足。

要知道 f(x)=f(1/(x+1)) 这条件还可以不断迭代下去，举个栗子，若 f(0)=m，则 f(1)=m，进而 f(1/2)=m，再而 f(2/3)、f(3/5) 等等都 =m，知道一个点，就能确定无穷个点，因此由一个区间出发可以推到无穷个区间上，那么开头的区间说不定就可以更小。

但后来转念一想，`\frac{\sqrt5-1}2` 这个点还是必须要包含的，因为它是 1/(x+1) 的“不动点”，它不可能从别的点推出来，那么上面的答案还是正确的。

不过，除了不动点外，那区间内部的点是否可以挖掉一些呢？
研究后发现确实是可以的，事实上，可以证明：
\[\left\{y \biggm| y=f(x),x\in\left[0,\frac12\right)\right\}\cup\left\{f\left(\frac{\sqrt5-1}2\right)\right\}=\left\{y\mid y=f(x),x\in D\right\}.\quad(*)\]

首先由条件有
\[f(x)=f\left(\frac1{1+x}\right)=f\left(\frac1{1+\frac1{1+x}}\right)=f\left(\frac1{1+\frac1{1+\frac1{1+x}}}\right)=\cdots,\]
化简为
\begin{align*}
f(x)&=f\left(\frac1{1+x}\right)=f\left(\frac{1+x}{2+x}\right)=f\left(\frac{2+x}{3+2x}\right)=f\left(\frac{3+2x}{5+3x}\right)\\
&=\cdots=f\left(\frac{F_{n+1}+F_nx}{F_{n+2}+F_{n+1}x}\right),
\end{align*}
这里 `\{F_n\}` 为 Fibonacci 数列 `\{1,1,2,3,5,8,\ldots\}`。

可以证明：当 `n` 为奇数时，若 `x\in[0,1/2)`，则
\[\frac{F_{n+1}+F_nx}{F_{n+2}+F_{n+1}x}\in\left[\frac{F_{n+1}}{F_{n+2}},\frac{F_{n+3}}{F_{n+4}}\right),\]

点击查看上式的证明

求导得
\[\left(\frac{F_{n+1}+F_nx}{F_{n+2}+F_{n+1}x}\right)^\prime=-\frac{F_{n+1}^2-F_nF_{n+2}}{(F_{n+2}+F_{n+1}x)^2},\]
熟知 `F_{n+1}^2-F_nF_{n+2}=(-1)^n`，所以当 `n` 为奇数时上式为正，即 `\frac{F_{n+1}+F_nx}{F_{n+2}+F_{n+1}x}` 关于 `x` 递增，所以当 `x\in[0,1/2)` 时
\begin{align*}
\frac{F_{n+1}+F_nx}{F_{n+2}+F_{n+1}x}&\in\left[\frac{F_{n+1}}{F_{n+2}},\frac{F_{n+1}+\frac12F_n}{F_{n+2}+\frac12F_{n+1}}\right)
=\left[\frac{F_{n+1}}{F_{n+2}},\frac{2F_{n+1}+F_n}{2F_{n+2}+F_{n+1}}\right)\\
&=\left[\frac{F_{n+1}}{F_{n+2}},\frac{F_{n+2}+F_{n+1}}{F_{n+3}+F_{n+2}}\right)
=\left[\frac{F_{n+1}}{F_{n+2}},\frac{F_{n+3}}{F_{n+4}}\right).
\end{align*}

也就是
\[x\in\left[0,\frac12\right)\riff\frac{1+x}{2+x}\in\left[\frac12,\frac35\right),\frac{3+2x}{5+3x}\in\left[\frac35,\frac8{13}\right),\frac{8+5x}{13+8x}\in\left[\frac8{13},\frac{21}{34}\right),\ldots\]
又熟知
\[\lim_{n\to\infty}\frac{F_n}{F_{n+1}}=\frac{\sqrt5-1}2,\]
所以
\[\left\{y\biggm|y=f(x),x\in\left[0,\frac12\right)\right\}=\left\{y\Biggm|y=f(x),x\in\left[0,\frac{\sqrt5-1}2\right)\right\},\]
最后再补上 `\left\{f\left(\frac{\sqrt5-1}2\right)\right\}`，以及根据图中的<1><2>推理，即得式 (*)。