抽象函数

周亚明

22已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f(x)=x^3 f\left(\frac{1}{x}\right)$ ，当 $x \in(-\infty, 0) \cup(0,+\infty)$ 时 $f(x)+f(y)+2 x y=f(x+y)$ ，则 $f(3)$ 的值为
A． 9
B． 10
C． 11
D． 12

kuing

满足条件的函数是否唯一，还真不好说。

令 `f(x)=g(x)+x^2`，则
\begin{align*}
&f(x)+f(y)+2xy=f(x+y)\\
\iff{}& g(x)+x^2+g(y)+y^2+2xy=g(x+y)+(x+y)^2\\
\iff{}& g(x)+g(y)=g(x+y),
\end{align*}
即 `g(x)` 满足柯西方程，虽然柯西方程有变态解，但别忘了这题还有另一条件 `f(x)=x^3f(1/x)`，代入 `g` 后变成
\[g(x)+x^2=x^3g\left(\frac1x\right)+x,\]
那些变态解能满足以上方程吗？我只能说不知道……