抽象函数

周亚明

abababa

致各位论坛网友：

由于 hbghlyj 操作数据库失误导致由 2023-9-26 至 2023-11-5 间期的所有帖子的内文都被清空，在此给大家真诚道歉。

现在我们正在浏览这期间的帖子，努力回忆内容，尽可能地多恢复一些，如果您还记得本帖原本的内容，也希望您能编辑回来，麻烦各位了。

周亚明

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kuing

满足条件的函数是否唯一，还真不好说。

令 `f(x)=g(x)+x^2`，则
\begin{align*}
&f(x)+f(y)+2xy=f(x+y)\\
\iff{}& g(x)+x^2+g(y)+y^2+2xy=g(x+y)+(x+y)^2\\
\iff{}& g(x)+g(y)=g(x+y),
\end{align*}
即 `g(x)` 满足柯西方程，虽然柯西方程有变态解，但别忘了这题还有另一条件 `f(x)=x^3f(1/x)`，代入 `g` 后变成
\[g(x)+x^2=x^3g\left(\frac1x\right)+x,\]
那些变态解能满足以上方程吗？我只能说不知道……