来自讨论组群：抽象函数 `f'(x)=g(x)`, `g'(x)=f(x)`

kuing

皮蛋 2024/6/17 02:07
设定义在 `\mbb R` 上的可导函数 `f(x)` 和 `g(x)` 满足 `f'(x)=g(x)`, `g'(x)=f(x)`，`f(x)` 为奇函数，`g(0)=1`。则下列选项中正确的有（    ）
（选项略）

这个不硬解微分方程能做吗？

解：由条件有
\begin{align*}
\bigl(f(x)e^x\bigr)'&=\bigl(f'(x)+f(x)\bigr)e^x=\bigl(g(x)+f(x)\bigr)e^x,\\
\bigl(g(x)e^x\bigr)'&=\bigl(g'(x)+g(x)\bigr)e^x=\bigl(f(x)+g(x)\bigr)e^x,\\
\bigl(f(x)e^{-x}\bigr)'&=\bigl(f'(x)-f(x)\bigr)e^{-x}=\bigl(g(x)-f(x)\bigr)e^{-x},\\
\bigl(g(x)e^{-x}\bigr)'&=\bigl(g'(x)-g(x)\bigr)e^{-x}=\bigl(f(x)-g(x)\bigr)e^{-x},
\end{align*}
所以
\begin{align*}
\bigl(f(x)e^x-g(x)e^x\bigr)'&=0,\\
\bigl(f(x)e^{-x}+g(x)e^{-x}\bigr)'&=0,
\end{align*}
因此
\begin{align*}
f(x)e^x-g(x)e^x&=C_1,\\
f(x)e^{-x}+g(x)e^{-x}&=C_2,
\end{align*}
其中 `C_1`, `C_2` 为常数，解得
\begin{align*}
f(x)&=\frac{C_1e^{-x}+C_2e^x}2,\\
g(x)&=\frac{C_1e^{-x}-C_2e^x}2,
\end{align*}
由 `f(-x)=-f(x)\riff C_1+C_2=0`，由 `g(0)=1\riff C_1-C_2=2`，得 `C_1=1`, `C_2=-1`，即
\begin{align*}
f(x)&=\frac{e^{-x}-e^x}2,\\
g(x)&=\frac{e^{-x}+e^x}2.
\end{align*}