2022年新高考全国2卷第8题 抽象函数求值

isee

和新高考全国1卷完全不同
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题：已知函数$(x)$的定义域为$\mathbb R$且$f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)$，$f(1)=1$，则$\sum_{1}^{22}f(k)=$

A. -3

战巡

考场上抢时间可以耍赖...
比如，一眼看出，余弦或者双曲余弦类的函数满足条件
试一下就可以知道了，直接令
\[f(x)=2\cos(\frac{\pi x}{3})\]
即可

kuing

交换 `x`, `y` 知 `f` 是偶函数，令 `x=1`, `y=0` 得 `f(0)=2`，令 `y=1` 得 `f(x+1)+f(x-1)=f(x)`，进而 `f(x+3)=f(x+2)-f(x+1)=-f(x)`，可见 `f(k)` 连续 6 项之和为零，那么如果对所求式补上 `f(-1)` 和 `f(0)` 的话就是连续 24 项，因此所求式 `= -f(-1)-f(0) = -3`。