抽象函数周期问题

力工

已知定义在$R$上的函数$f(x)$满足$f(x+2\pi)=f(x)+f(2\pi)$，且在区间$[0,2\pi]$上的值域为$[f(0),f(2\pi)]$,若函数$g(x)=sin[f(x)]$具有性质(1):$g(x+2\pi)=g(x)$,(2)在区间$(0,2\pi)$上有且只有一个零点，求证：$f(2\pi)=2\pi$.
绕晕了 ，求助大佬们。

力工

大家没兴趣吗？

Czhang271828

其实不难, 依照 $g(x)=g(x+2\pi)$​ 得
$$
\sin f(x)=\sin f(x)\cos f(2\pi)+\cos f(x)\sin f(2\pi).
$$
故
$$
\sin  f(x)(1-\cos f(2\pi))=\cos f(x)\sin f(2\pi).
$$
若 $\sin f(2\pi)=0$, 则只能有 $\cos f(2\pi)=1$. 因为 $f$ 值域是区间.

若 $\sin f(2\pi)\neq 0$, 则 $\cos f(x)$ 是 $\sin f(x)$ 的数乘倍, 与 $f$ 的值域是区间矛盾.

显然 $f(0)=0$, $f(2\pi)=2k\pi$. 若 $k\geq 2$, 则 $(0,2\pi)$ 在 $f$ 下的像包含 $\pi,2\pi,3\pi$. 这与 $g(x)$ 在 $(0,2\pi)$ 只有一个零点矛盾.