函数的不动点证明题

力工

对于定义在$R$上的函数$f(x)$,若$f(x)=x$有2个根，$f[f(x)]=x$有4个根，证明：不存在函数$g(x)$满足$f(x)=g[g(x)]$.
这个不动点问题，渣我不明觉厉。

Czhang271828

这其实, 不难啊.
如果存在映射 $g$ 使得 $g(g(g(g(x))))$ 恰有 $4$ 个不动点, 则对任意不动点 $x_0$, 有
\[
x_0\overset g\to x_1\overset g\to x_2\overset g\to x_3\overset g\to x_0.
\]
此时 $S(x_0):=\{x_0,x_1,x_2,x_3\}$ 为不动点集的子集. 若存在 $i$ 使得 $x_i=x_{\color{red}{i+1}}$, 则 $|S(x_0)|=1$; 若存在 $i$ 使得 $x_i=x_{i+2}\neq x_{i+1}$, 则 $|S(x_0)|=2$; 若对任意 $i$ 都有 $x_{i+2}\neq x_i\neq x_{i+1}$, 则 $|S(x_0)|=4$.

综上, $g(g(g(g(x))))$ 的不动点为 $(4)$-型, $(2+2)$-型, $(2+1+1)$-型, $(1+1+1+1)$-型的其中一种. 相应地, $g(g(x))$ 的不动点数分别为 $0$, $4$, $4$, $4$, 没有 $2$, 矛盾.