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本帖最后由 hbghlyj 于 2023-9-16 18:03 编辑 定理1.设X是完备的度量空间.如果映射f:X→X对任意的点x,y$\in X$满足$d(f(x),f(y))\le k\cdot d(x,y)$,其中$0<k\le1$是常数,则称f是X到X的一个压缩映射.f在X中必有且仅有一个不动点,而且从X的任何点$x_0$出发作序列$x_1=f(x_0),x_2=f(x_1),\cdots,x_n=f(x_{n-1}),\cdots$，…这序列一定收敛到f的那个不动点.
证明略
定理2.若函数f(x)在[a,b]上可导且|f'(x)|<1,则函数f(x)是压缩映射.
证明：对任意的x,y∈[a,b],且x≠y,由拉格朗日中值定理,存在ζ,使|f(x)-f(y)|=|f'(ζ)||x-y|<|x-y|,所以f(x)是一个压缩映像.
$f(x)=\cos x$对于其定义域内的任何x是迭代收敛的
证明：$|f'(x)|=|-\sin x|\le 1$
$f(x)=e^{-\frac{1+x}{1+2x}}$对于其定义域内的任何x是迭代收敛的
证明：由于$f(x)>0$,只需考虑x>0的情况.$f'(x)=(1+2x)^{-2}e^{-\frac{1+x}{1+2x}},f''(x)=-\frac{3+8x}{(1+2x)^4}e^{-\frac{1+x}{1+2x}}<0,f'(0)=e^{-1}<1,$故0<f'(x)<1对任意正数x成立,由定理2,f(x)是压缩映射,由定理1,f(x)有唯一的不动点(算出是0.469...)且迭代收敛到其不动点. |
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