引言不知道如何证明 等价范数

hbghlyj

这篇文章引言



它定义了 $S x:=x-2 \varphi(x) u$ 和范数 $\|x\|_2:=\|S x\|_1$，
其中说 $S^2=I$ 我知道如何证明：对于任何 $x \in X$，我们有 $S^2 x=S(x-2 f(x) x_0)=x-4 f(x) x_0+4 f(x) x_0=x$.
我知道如何证明范数如何证明范数 $\|\|_2$ 是完备的：因为 $S^{-1}=S$，所以映射 $S:(X,\|\|_2)\to(X,\|\|_1)$ 是等距双射.
但我不知道如何证明范数 $\|\|_2$ 与范数 $\|\|_1$ 不等价

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假设存在 $c>0$ 使得对所有 $x \in X$ 都有 $‖x‖_2\le c‖x‖_1$。由于 $\phi$ 是无界的，在 $X$ 中存在一个序列 $(x_n)_{n=1}^\infty$ 使得 $\phi(x_n)=1$ 且 $‖x_n‖_1<1/n$。那么$$‖x_n‖_2=‖S x_n‖_1=‖x_n-2 \phi(x_n) u‖_1=‖x_n-2 u‖_1\ge2‖u‖_1-‖x_n‖_1>2-\frac{1}{n}$$但 $‖x_n‖_2\le c‖x_n‖_1\le c/n$，这就产生了矛盾。

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