来自人教群的抽象函数 $f(-x)+f(x)=x^2$, $x>0,f'(x)>x$

kuing

令 $g(x)=f(x)-x^2/2$，则
\[g(-x)+g(x)=f(-x)-\frac12(-x)^2+f(x)-\frac12x^2=0,\]
故 $g(x)$ 为奇函数，当 $x>0$ 时，$g'(x)=f'(x)-x>0$，故 $g(x)$ 为增函数（且显然是严格递增的），而
\begin{align*}
f(2-a)-f(a)-2+2a&=f(2-a)-\frac12(2-a)^2-\left( f(a)-\frac12a^2 \right) \\
& =g(2-a)-g(a),
\end{align*}
故
\[g(2-a)\geqslant g(a)\iff 2-a\geqslant a\iff a\leqslant 1.\]

kuing

忘记了做最重要的一件事，就是要证明题目没问题，这需要构造一个满足条件的函数，这很简单，比如说 $f(x)=x^2/2+x$ 即可。

Tesla35

kuing 好棒，今天写了好多题

kuing

回复 3# Tesla35

嘿嘿，一起玩啊555

其妙

忘记了做最重要的一件事，就是要证明题目没问题，这需要构造一个满足条件的函数，这很简单，比如说 $f(x)=x ...
kuing 发表于 2014-1-6 16:55

思维好严谨，连充分性也证明了。虽然做题常常用必要性。

kuing

回复 5# 其妙

没办法，抽象函数错题见多了

第一章

看来突破口就在于$f'(x)>x$这一条件

其妙

看来突破口就在于$f'(x)>x$这一条件
第一章 发表于 2014-1-8 00:11

$f'(x)>x$，$f'(x)-x>0$，积分得：$g(x)=f(x)-\dfrac{x^2}2+C$($C$为常数)，

wenshengli

回复 1# kuing

牛！
这个是13年卓越的题.

其妙

回复  kuing

牛！
这个是13年卓越的题.
wenshengli 发表于 2014-1-9 10:07

出处dang牛笔！

chen、bin

学习

走走看看

回复 1# kuing

在x＞0时，是增函数。由g(x)是奇函数可知，在x＜0时，也是增函数，但未必在（-∞，+∞）上是增函数啊。比如也可能是这样的奇函数，x∈（-∞，0）时，f(x)<3;x∈（0，+∞）时，f(x)>-3;f(0)=0。假定以0为分界点的两边都是增函数，显然整个定义域上却不是增函数。

请教大师，您怎么知道g(x)在全域上都是增函数？

kuing

回复 12# 走走看看

请念题目第一句话100遍

走走看看

回复 13# kuing


  明白了，可导必连续。

其妙

回复 8# 其妙
除了用积分法的暗示而外，还有个一暗示就是构造奇函数，并且一次函数是两个“同型的”二次函数之差，