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战巡
发表于 2024-6-2 20:35
斜着研究比较好
首先不难证明，对于$n>k$时，恒有$P_{(k,n)}=0$
这里我们不妨重新定义一下符号：令$Q_m(n)=P_{(n,n-m)}$
然后就有
\[P_{(n,n)}=Q_0(n)=\frac{P_{(n-1,n-1)}+P_{(n-1,n+1)}}{2}=\frac{P_{(n-1,n-1)}}{2}\]
结合$P_{(0,0)}=1$，可知
\[P_{(n,n)}=Q_0(n)=\frac{1}{2^n}\]
接下来
\[P_{(n,n-1)}=Q_1(n)=\frac{P_{(n-1,n-2)}+P_{(n-1,n)}}{2}=\frac{P_{(n-1,n-2)}}{2}\]
加上$P_{(1,0)}=0$，可知$P_{(n,n-1)}=Q_1(n)=0$
那么
\[P_{(n,n-m)}=\frac{P_{(n-1,n-m-1)}+P_{(n-1,n-m+1)}}{2}\]
\[Q_m(n)=\frac{Q_m(n-1)+Q_{m-2}(n-1)}{2}\]
\[2^nQ_m(n)-2^{n-1}Q_m(n-1)=2^{n-1}Q_{m-2}(n-1)\]
\[2^nQ_m(n)-2^mQ_m(m)=\sum_{k=m}^{n-1}2^kQ_{m-2}(k)\]
这里很明显$Q_m(m)=P_{(m,0)}$，当$m$为奇数时，会有$Q_m(m)=0$，即
\[2^nQ_m(n)=\sum_{k=m}^{n-1}2^kQ_{m-2}(k)\]
注意此时$m-2$也为奇数，而且$Q_1(n)=0$，这个一路递推下来，就会有$m$为奇数时，恒有
\[Q_m(n)=0\]
当$m$为偶数时，$Q_m(m)=\frac{1}{3}(1+\frac{1}{2^{m-1}})$
此时不妨重新定义一个数列：$R_m(n)=2^nQ_m(n)$，则有
\[R_m(n)=\sum_{k=m}^{n-1}R_{m-2}(k)+\frac{2}{3}(2^{m-1}+1)\]
然后$R_0(n)=2^nQ_0(n)=1$
这个递推你就慢慢玩吧，一开始会得到
\[R_2(n)=n\]
\[R_4(n)=\frac{1}{2}n(n-1)\]
后面越来越复杂很难化简 |
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