请教一个数列的问题

snowblink

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kuing 注：
楼主原先问的题目写法有所不同，但由于原帖内容丢失，想不起来具体怎么写了，所以就用知乎上的图来代替，反正原帖是导致我后来需要证明更强的：`12<S_{100}<13`。

kuing

递推式倒数得
\[\frac1{a_{n+1}}=a_{n-1}+\frac1{a_n},\]
求和得
\[S_n=\frac1{a_{n+2}}-\frac1{a_2}=\frac1{a_{n+2}}-2,\]
为方便起见令 `b_n=1/a_n`，则 `b_1=1`, `b_2=2`，当 `n\geqslant2` 时
\[b_{n+1}=b_n+\frac1{b_{n-1}},\]
需要估计 `b_{102}`。

先看简单点的下界，显然 `\bn` 为递增数列，当 `n\geqslant2` 时，对递推式平方有
\[b_{n+1}^2=b_n^2+\frac1{b_{n-1}^2}+2\cdot\frac{b_n}{b_{n-1}}>b_n^2+\frac1{b_{n-1}^2}+2,\]
迭代下去得
\begin{align*}
b_{n+1}^2&>b_2^2+\frac1{b_{n-1}^2}+\frac1{b_{n-2}^2}+\cdots+\frac1{b_1^2}+2(n-1)\\
&\geqslant b_2^2+\frac1{b_1^2}+2(n-1)\\
&=2n+3,
\end{align*}
所以当 `n\geqslant3` 时 `b_n>\sqrt{2n+1}`。

于是 `S_{100}=1/a_{102}-2=b_{102}-2>\sqrt{205}-2>12`。

上界有点困难，待缜……

kuing

首先计算出 `b_3=3`，当 `n\geqslant3` 时，对递推式 `b_{n+1}=b_n+1/b_{n-1}` 平方并利用 `\bn` 递增有
\begin{align*}
b_{n+1}^2&=b_n^2+\frac1{b_{n-1}^2}+2\cdot\frac{b_n}{b_{n-1}}\\
&=b_n^2+\frac1{b_{n-1}^2}+2\cdot\frac{b_{n-1}+\frac1{b_{n-2}}}{b_{n-1}}\\
&=b_n^2+\frac1{b_{n-1}^2}+\frac2{b_{n-1}b_{n-2}}+2\\
&<b_n^2+\frac3{b_{n-2}^2}+2,
\end{align*}
迭代下去并利用楼上得到的 `b_n^2>2n+1`（`n\geqslant3`），得到
\begin{align*}
b_{n+1}^2&<b_3^2+3\left(\frac1{b_{n-2}^2}+\frac1{b_{n-3}^2}+\cdots+\frac1{b_1^2}\right)+2(n-2)\\
&<b_3^2+3\left(\frac1{2n-3}+\frac1{2n-5}+\cdots+\frac17+\frac1{b_2^2}+\frac1{b_1^2}\right)+2(n-2)\\
&=3\left(\frac1{2n-3}+\frac1{2n-5}+\cdots+\frac17\right)+2n+\frac{35}4,
\end{align*}
不难证明当 `x>2` 时
\[\frac1x<\frac12\ln\frac x{x-2},\]
由此得到
\[b_{n+1}^2<\frac32\ln\frac{2n-3}5+2n+\frac{35}4,\]
为了不出动计算器，再放掉 `\ln` 吧，利用 `\ln x<\sqrt x` 得到弱一点的
\[b_{n+1}^2<\frac32\sqrt{\frac{2n-3}5}+2n+\frac{35}4,\]
代入 `n=101` 得
\[b_{102}^2<\frac{843}4+\frac32\sqrt{\frac{199}5}<\frac{843}4+\frac32\cdot7=\frac{885}4<225,\]
所以 `S_{100}=1/a_{102}-2=b_{102}-2<\sqrt{225}-2=13`，搞定。

kuing

由以上结论得到副产品：

命题：已知 `b_1=1`, `b_2=2`，当 `n\geqslant2` 时
\[b_{n+1}=b_n+\frac1{b_{n-1}},\]
则有
\[\lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{\sqrt{2n}}=1.\]

类似题：《撸题集》P.993~994 题目 6.10.73。

isee

kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=8841

搜 S_100 找不到，搜 S 100 才找到

kuing

回楼上：

搜 S_100 当然是搜不到，你写代码肯定也得写 S_{100} 啊
搜 S_{100} 就行了

现在论坛的搜索比以前好，可以比较精确地搜索数学公式