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v6(2646*****) 2023/3/23 15:36:16
我也问个题啊
kuing(249533164) 16:05:00
只会求通项，但没用
...
求通项就是特殊方程那套，就不写了，没用。
幸好我后来想起了《撸题集》P.219 题目 2.5.1，在书上那坑爹过程的启发下，搞出了下面的解法。
解：递推式即
\[4a_{n+1}=a_{n+2}+a_n,\]
于是
\begin{align*}
a_{n+2}&=\frac14(a_{n+3}+a_{n+1})\\
&=\frac14\left(\frac14(a_{n+4}+a_{n+2})+\frac14(a_{n+2}+a_n)\right),
\end{align*}得到
\[14a_{n+2}=a_{n+4}+a_n,\]
于是
\begin{align*}
a_{n+3}&=\frac14(a_{n+4}+a_{n+2})\\
&=\frac14\left(\frac1{14}(a_{n+6}+a_{n+2})+\frac1{14}(a_{n+4}+a_n)\right)\\
&=\frac1{56}(a_{n+6}+4a_{n+3}+a_n),
\end{align*}
得到
\[52a_{n+3}=a_{n+6}+a_n,\]
于是
\begin{align*}
a_{n+6}&=\frac1{52}(a_{n+9}+a_{n+3})\\
&=\frac1{52}\left(\frac1{52}(a_{n+12}+a_{n+6})+\frac1{52}(a_{n+6}+a_n)\right),
\end{align*}
得到
\[(52^2-2)a_{n+6}=a_{n+12}+a_n,\]
由于 `52^2-2=2702=1351\times2` 且 `a_n` 显然恒为整数，所以
\[a_{n+12}\equiv-a_n\pmod{1351},\]
不难计算出 `a_6=1351`，即 `a_6\equiv0\pmod{1351}`，所以对任意自然数 `k` 都有 `a_{6+12k}\equiv0\pmod{1351}`，而 `2022=168\times12+6`，所以 `a_{2022}\equiv0\pmod{1351}`，所以它有因子 `1351`。 |
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abababa
发表于 2023-3-23 21:24
hbghlyj
发表于 2023-3-24 22:35
这个题目😊看来是考通项？
我平常至少都三点才有睡意
