来自讨论组——二次函数，绝对值，求参数最小值

kuing

v6(2646*****) 2022/10/15 13:54:05

这个能用绝对值不等式搞吗？kk

首先证明 `a\geqslant4` 符合条件。

对于任意长度为 `1` 的区间 `[t-1/2,t+1/2]`，取 `x_1=t-1/2`, `x_2=t`, `x_3=t+1/2`，当 `a\geqslant4` 时
\begin{align*}
&\abs{f(x_1)-f(x_2)}+\abs{f(x_2)-f(x_3)}\\
\geqslant{}&\abs{f(x_1)-2f(x_2)+f(x_3)}\\
={}&\left|a\left(t-\frac12\right)^2+a\left(t+\frac12\right)^2-2t+2-2(at^2-t+1)\right|\\
={}&\frac a2\geqslant2,
\end{align*}
可见 `\abs{f(x_1)-f(x_2)}` 与 `\abs{f(x_2)-f(x_3)}` 中至少有一个不小于 `1`，所以符合条件。

再证明 `0<a<4` 不符合条件。

考虑区间 `[-3/8,5/8]`，设 `m-d`, `m+d\in[-3/8,5/8]`, `0\leqslant d\leqslant1/2`，则 `-3/8+d\leqslant m\leqslant5/8-d`，当 `0<a<4` 时
\begin{align*}
\abs{f(m-d)-f(m+d)}&=2d\abs{2am-1}\\
&\leqslant2d\cdot\max\left\{ {\left|2a\left(-\frac38+d\right)-1\right|,\left|2a\left(\frac58-d\right)-1\right|} \right\}\\
&<2d\cdot\max\{\abs{0-1},\abs{-3+8d-1},\abs{5-8d-1}\}\\
&=2d\cdot\max\{1,4-8d\},
\end{align*}
显然 `2d\leqslant1` 且 `2d\cdot(4-8d)=4\cdot2d\cdot(1-2d)\leqslant(2d+1-2d)^2=1`，可见 `\abs{f(m-d)-f(m+d)}<1` 恒成立，即在区间 `[-3/8,5/8]` 上不满足条件。

综上所述，`a` 的最小值就是 `4`。

hbghlyj

有点像函数“一致连续(uniformly continuous)”的\(\epsilon\text{-}\delta\)定义

如果對任意的 \(\epsilon > 0\)，存在 \(\delta>0\)，使得對任意兩點 \(|x-y|< \delta\)，都有 \(|f(x)-f(y)|<\epsilon\)，則稱函數 \(f\) 在 \(X\) 上一致連續。

这里是“任意⋯都小于⋯”,而1楼是正好反过来“存在⋯不小于”