$x^a\sin x^{-b}$ 有界变差

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bounded variation
$$f(x)=\left\{\begin{array}{cl}x^a \sin \left(x^{-b}\right) & \text { for } 0<x \leq 1 \\ 0 & \text { if } x=0\end{array}\right.$$证明：
当$a>b$时，存在有限数 $M$ 使得\[\sum_{j=1}^N\abs{f(t_j) - f(t_{j-1})} ≤ M\]适用于$[0,1]$的所有划分 $0 = t_0 < t_1 < \dots < t_N = 1$.
当$a\le b$ 不存在有限数$M$ 使得...
这里 $[0,1]$ 可以为任何包含 0 的有限区间

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solutions2.pdf Theorem 0.2.
MSE
取一个划分$\left\{x_{n}\right\}=\left\{\left(n \pi+\frac{\pi}{2}\right)^{-1 / b}\right\}$
由sin的周期性，$f\left(x_{n}\right)=\left\{\begin{array}{ll}x_{n}^{a} & n \text { even } \\ -x_{n}^{a} & n \text { odd }\end{array}\right.$
\begin{aligned} \sum_{n=1}^{m}\left|f\left(x_{n}\right)-f\left(x_{n-1}\right)\right| & =\sum_{n=1}^{m}\left|(-1)^{n}\left[x_{n}^{a}+x_{n-1}^{a}\right]\right|=\sum_{n=1}^{m}\left[x_{n}^{a}+x_{n-1}^{a}\right] \\ & =2 \sum_{n=1}^{m-1} x_{n}^{a}+x_{m}+x_{0} \geq \sum_{n=1}^{m-1} x_{n}^{a}=\sum_{n=1}^{m-1}\left(n \pi+\frac{\pi}{2}\right)^{-a / b}\end{aligned}存在有限数$M$，对于任何$m$，$\sum_{n=1}^{m-1}\left(n \pi+\frac{\pi}{2}\right)^{-a / b}<M$，当且仅当$a>b$
对于 $a\le b$，通过这个特定的 $\xn$ 选择，我们已经证明 $M$ 不存在； 对于 $a>b$，由于 $f$ 在每个 $[x_n,x_{n+1}]$ 上是单调的，更精细的划分不会增加$\sum|f(x_n)-f(x_{n-1})|$，所以这个特定的 $M$ 将适用于$[0,1]$所有划分。

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又见：
differential geometry of curves & surfaces Chapt 1. Exercise 9 b (A Nonrectifiable Curve.)