函数不等式

力工

感觉分类讨论太繁，想讨个好解。
已知函数$f(x)=2cos^2x+acosx+b,x\in R$,若$\abs{f(x)}\leqslant 1$,
求证：$f(x)=cos2x$.

kuing

套路题啊，令 `t=\cos x\in[-1,1]`，有 `f(x)=g(t)=2t^2+at+b`，则
\begin{align*}
4&\geqslant\abs{g(-1)}+2\abs{g(0)}+\abs{g(1)}\\
&\geqslant\abs{g(-1)-2g(0)+g(1)}\\
&=4,
\end{align*}
于是只能都取等号，即 `\abs{g(-1)}=\abs{g(0)}=\abs{g(1)}=1` 且 `g(-1)g(0)<0`, `g(1)g(0)<0`，下略。

力工

kuing 发表于 2024-12-12 16:56
套路题啊，令 `t=\cos x\in[-1,1]`，有 `f(x)=g(t)=2t^2+at+b`，则
\begin{align*}
4&\geqslant\abs{g(-1)} ...

唉，差一点，本来取了$f(1),f(0),f(-1)$但一下没再想到消$a,b$。😂