初三一个绝对值不等式问题

realnumber

好卷,题目如下,
$a_i\in $[-1,1],i=1,2,3,...,10,设$A=a_1+a_6,B=a_2+a_7,C=a_3+a_8,D=a_4+a_9,E=a_5+a_{10},F=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5$
$G=a_6+a_7+a_8+a_9+a_{10}$,又,所有$a_i$的和为0,即$a_1+a_2+\cdots+a_{10}=0$,
M=min{$\abs{A},\abs{B},\abs{C},\abs{D},\abs{E},\abs{F},\abs{G}$},求M最大值.

上面是2行5列，
改成三行三列又怎么解决？

kuing

前两天看到群里有道题，看起来是差不多的意思：
（后面好像写漏了 |T4|, |T5|？）

realnumber

还是不会啊,可能已经退化了

realnumber

$a_i\in $[-1,1],i=1,2,3,...,10,设$A=a_1+a_6,B=a_2+a_7,C=a_3+a_8,D=a_4+a_9,E=a_5+a_{10},F=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5$
$G=a_6+a_7+a_8+a_9+a_{10}$,又,所有$a_i$的和为0,即$a_1+a_2+\cdots+a_{10}=0$,
M=min{$\abs{A},\abs{B},\abs{C},\abs{D},\abs{E},\abs{F},\abs{G}$},求M最大值.
猜了一个,$a_i$依次为$1,\frac{1}{4},1,\frac{1}{4},1,\frac{1}{4},-\frac{7}{8},-1,-\frac{7}{8}，-1$
那么值是$\frac{5}{4}$,也就是说1楼答案不小于$\frac{5}{4}$


还没完成1楼证明，猜是这样猜测的

先是“缩减”原题为，$b_1,b_2,b_3,b_4,b_5\in $[-1,1],5个数和为0，求M=min{$\abs{b_1},\abs{b_2},\abs{b_3},\abs{b_4},\abs{b_5}$}的最大值.
进一步"缩减"为，$x,y,z\in$[-1,1],x+y+z=0,求M=min{$\abs{x},\abs{y},\abs{z}$}的最大值.
（目的，当然是把问题简化，容易验证，看看解答能否对原题有所启发）
不妨设$x\ge y\ge z$,（比如x=-1,y=1,z=0,可以换成x=1,y=0,z=-1，两组数据代入M中结果一样.）
继续不妨设$x\ge y\ge 0\ge z$,此时M=y,而$2y\le x+y = -z\le1$,即在x=y=0.5,z=-1时，M取到最大值0.5
同样在$b_1=b_2=b_3=\frac{2}{3},b_4=b_5=-1$时，M取到最大值$\frac{2}{3}$.

1楼如果考虑N=min{$\abs{A},\abs{B},\abs{C},\abs{D},\abs{E}$}的最大值（$N\ge M$），则照搬上面的解法，可得N最大值为
$\frac{4}{3},此时a_1+a_2=\frac{4}{3}=B=C,E=D=-2$,此时$\abs{F}=\abs{G}=1$,所以猜测减小A，B，C，-D，-E,增大$\abs{F}=\abs{G}$
如此猜测M最大值为$\frac{5}{4}$此时$A=B=C=\abs{F}=\abs{G}$，如果成立的话,怎么完成证明过程？

realnumber

疑邻盗斧，或带着有色眼睛看问题，大概就这意思，下面这样证可以吗？
证：所有数和为零，可得$\abs{F}=\abs{G}$，不妨设$A\ge B\ge C\ge D\ge E$（若有$B\ge A $,则交换A,B的值，余类似）, 当M取到最大值时A,B,C,D,E不可能全正或全负或0，分以下两种情况讨论.
1.当$A\ge B\ge C \ge 0\ge D\ge E$时(三负两正，只需要每个值取相反数，就转换为本条三正两负)
M=min{C,-D,$\abs{F}$}
又$C\le \frac{A+B+C}{3}<\abs{D}\le \frac{\abs{D+E}}{2}=\frac{A+B+C}{2}$,
则M=min{C,$\abs{F}$}
对于给定的A,B,C的值不全相等时，取$A'=B'=C'=\frac{A+B+C}{3}$得到的M'值不小于M,于D,E也一样处理.
因此M取最大时，不妨设A=B=C=1+t,D=E=-1-s,又A+B+C+D+E=0，可得1+3t=2s,$s,t\in [-1,1]$,
即$-2\le  1+3t\le 2$,即$-1\le  t\le \frac{1}{3}$
又F+G=0,不妨设F>0,对于给定的A,B,C,D,E,（要使F尽可能大，即G尽可能小，令$a_1=a_2=a_3=1,a_9=a_{10}=-1$,那么$a_4=a_5=-s$)
要使M尽可能大，可令F=1+1+1-s-s=3-2s=2-3t,
此时M=min{C,$\abs{F}$}=min{1+t,2-3t},(在直角坐标系下画y=1+x与y=2-3x，可以看出交点处，M达到最大值)在$t=\frac{1}{4}$时取到最大值$\frac{5}{4}$.

2.当$A\ge B\ge C \ge D \ge 0\ge E$时
M=min{D,-E,$\abs{F}$}
又$D\le \frac{A+B+C+D}{4}<\abs{E}=A+B+C+D\le 2$,得$D\le \frac{1}{2} $
则M=min{D,$\abs{F}$} $\le \frac{1}{2}<\frac{5}{4}$.
由1.2.可得M最大值为$\frac{5}{4}$

realnumber

推广一下,如果这样怎么办?改成三行五列一共15个数
问题:$a_i\in [-1,1],i=1,2,3,\cdots,15$,记$A_i=a_i+a_{i+5}+a_{i+10},i=1,2,3,4,5$
$B_1=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5,B_2=a_6+a_7+a_8+a_9+a_{10},B_3=a_{11}+a_{12}+a_{13}+a_{14}+a_{15}$,又$\sum_{i=1}^{15}a_i=0$
M=min{$\abs{A_1},\abs{A_2},\abs{A_3},\abs{A_4},\abs{A_5},\abs{B_1},\abs{B_2},\abs{B_3},$},求M的最大值.