看着像是切比雪夫多项式背景的题目

facebooker

(1)已知$f(x)=(1-x^2)(x^2+bx+c),x\in [-1,1]$,记$\abs {f(x)}$的最大值为$M(b,c)$, 求$M(b,c)$的最小值。

(2)已知函数$f(x)=x^2-ax-4, (a\in R)$, 若对任意的$a\in R$,总存在$1\leqslant x_0\leqslant 2$,使得$|f(x)|\geqslant m$成立，求$m$的取值范围。

kuing

（1）常规套路，先猜取等，再凑过程。

简略说下猜的技巧：应左右对称且 `f` 的最大最小值互反，于是先让 `b=0`，最小值是 `f(0)=c`，要 `f(x)` 最大值是 `-c`，即 `f(x)+c=-x^4+(1-c)x^2+2c` 的 `\Delta=(1-c)^2+8c=0`，得 `c=-3\pm2\sqrt2`，`\pm` 应该取 `+` 否则负得太大，代回 `f(x)+c` 算出 `x^2=2-\sqrt2`，这样取等就“猜”出来了。

然后凑出证明过程如下：设 `t=\sqrt{2-\sqrt2}\in(-1,1)`，依题意有
\begin{align*}
2\sqrt2M&=M+M+\bigl( 2\sqrt2-2 \bigr)M\\
&\geqslant\abs{f(t)}+\abs{f(-t)}+\bigl( 2\sqrt2-2 \bigr)\abs{f(0)}\\
&\geqslant\bigl| f(t)+f(-t)-\bigl( 2\sqrt2-2 \bigr)f(0) \bigr|\\
&=6\sqrt2-8,
\end{align*}
所以
\[M\geqslant\frac{6\sqrt2-8}{2\sqrt2}=3-2\sqrt2,\]
当 `b=0`, `c=-3+2\sqrt2` 时不难验证 `M=3-2\sqrt2`，所以这就是最小值。

facebooker

kuing 发表于 2022-8-12 22:29
（1）常规套路，先猜取等，再凑过程。

简略说下猜的技巧：应左右对称且 `f` 的最大最小值互反，于是先让 ` ...

精彩！