来自讨论组——多绝对值方程有解

kuing

v6  2021/12/22 17:59:51

首先去掉 `f`，等价于：

对任意实数 `a`, `b\in[-1,1]`，方程 `|x-a|+|x-b|=m` 及 `|x-a|-|x-b|=n` 在 `[-1,1]` 上均有解。

先看后者，当 `a=b` 时 `|x-a|-|x-b|` 恒为 `0`，故 `n` 如果存在，就只能为 `0`。
而当 `n=0` 时，方程的解为 `x=(a+b)/2\in[-1,1]` 的确满足，所以 `n=0`；

再看前者，记 `g(x)=|x-a|+|x-b|`（`x\in[-1,1]`），易知
\begin{align*}
g(x)_{\min}&=|a-b|,\\
g(x)_{\max}&=\max\{g(-1),g(1)\}\\
&=\max\{|1+a|+|1+b|,|1-a|+|1-b|\},
\end{align*}
显然恒有 `|a-b|\leqslant2` 且
\begin{align*}
&\max\{|1+a|+|1+b|,|1-a|+|1-b|\}\\
\geqslant{}&\frac12(|1+a|+|1+b|+|1-a|+|1-b|)\\
\geqslant{}&\frac12|1+a+1+b+1-a+1-b|=2,
\end{align*}
即 `g(x)_{\min}\leqslant2\leqslant g(x)_{\max}`，并且当 `a=1`, `b=-1` 时同时取等，故 `m` 存在且只能 `=2`。

baxiannv

第三行啊为什么a=b啊