求一个有关绝对值式子的最大值

lemondian

给定正实数$a,b,a<b$。设$x_1,x_2,...,x_{2022}\in[a,b]$，求$\dfrac{|x_1-x_2|+|x_2-x_3|+...+|x_{2021}-x_{2022}|+|x_{2022}-x_1|}{x_1+x_2+...+x{2022}}$的最大值。

uk702

假设 a 和 b 是 x 轴的两个点，显然 $x_1, x_2, ...x_{2022}$ 位于 a 和 b 之间，而 $|x_i - x_{i+1}|$ 则是相邻两点的连线长度，因此，$|x_1 - x_2| + |x_2 - x_3| + ... + |x_{2021} - x_{2022}| + |x_{2022} - x_1|$ 就相当于某个人在 a 和 b 之间来回的涂。

故直觉上，每次都从 a 涂到 b，再从 b 涂到  a，其涂的总长度最长。因此，最大值（猜测）是 $\frac{2022(b-a)}{1011(b+a)} = \frac{2(b-a)}{b+a}$

再考虑另一种情况，$x_1, x_2,..., x_{2021}=a, x_{2022}=b$，这时显然有原式子 $ = \frac{2(b-a)}{2021a + b} ≤ \frac{2(b-a)}{a+b}$，等号当且仅当 a = 0 时成立。

这验证了上面的结论。

显然  $|x_i - x_{i+1}| ≤ b-a $，故易知最大值 $ ≤ \frac{2022(b-a)}{2022a} = \frac{b-a}{a}$，但如何证明（或否定）最大值 = $\frac{2(b-a)}{b+a}$，求大神现身。

hbghlyj

原来的
用RotateLeft重新写一下:

hbghlyj

artofproblemsolving.com/community/c6h1568635p9618212$$\frac{2}{3}\le \frac{|a+b|+|a+c|+|b+c|}{|a|+|b|+|c|}\le 2$$

hbghlyj

若$\min_jx_j≠a$,则令$x_k'=x_k+(a-\min_j x_j),\ k=1,2,\cdots,n$可以使分母减小而保持分子不变.
设$a$的下一项为$x_i$, 变为$\dfrac{\cdots+x_{i-2}-a+x_i-a+|x_i-x_{i+1}|+\dots}{\cdots+x_{i-2}+a+x_i+\cdots}$
当$x_i≤x_{i+1}$时关于$x_i$单减,取最大值当$x_i=a$
当$x_i≥x_{i+1}$时关于$x_i$单增(因为原式≤2),取最大值当$x_i=b$
继续这样做下去⋯最后$x_i$全都变成$a$和$b$

uk702

$min \ x_i = a$ 这个好证，实际上，不妨设 $y = min \ x_i$，则将 y 换成 a，显然分子变大而分母变小，所以式子要取最大值，$min \ x_i$ 必须取 a.

下面证 $max \ x_i$ = b，先假设我们已经知道最大值 <= 2，在这个条件下，若一组 ${x_i}$ 使得原式的值 $=\frac{u}{v}$，且 $y = max \ x_i$，记 $x = b-y$，易知，将 y 换成 b，则新式的值 $= \frac{u+2x}{v+x} ≧ \frac{u}{v}$ （当 $\frac{u}{v} ≤ 2$ 时）.

这样，我们知道，假设我们已经知道最大值 <= 2 的情况下，$x_i$ 的最小值必定是 a，最大值必定是 b，现在所有不等于 a 或 b 的 $x_i$ 中，记它的最小值为 y，（同理？实际上不同理！~~~）可以继续证明，若将 y 换成 a，其值更大（唉，发现这个结论也是错的），而 所有不等于 a 或 b 的 $x_i$ 中，其最大值假设为 z，则将 z 换成 b，其值更大（已经发现这个结论是错的了）。

若这一步成立，则可知，式子取最大值时，所有的 $x_i$ 要么是 a，要么是 b。


现继续证明，在所有不等于 a 或 b 的 $x_i$ 中，记它的最小值为 y，若将 y 换成 a，其值更大。实际上，假设 x = y-a，若将 y 换成 a显然分母变小了，而分子，要么 + 2x，要么维持不变，但若 y 的两旁都是 a，则将 y 换成 a ，这时分子 -2x，故这种情况下，需要将 y 换成 b。∴若 y 的两旁不全是 a，则将 y 换成 a，其值更大。若 y 的两旁全是 a，则将 y 换成 b，其值最大。

而在所有不等于 a 或 b 的 $x_i$ 中，记它的最大值为 z，若将 z 换成 b，需考虑 z 的两旁，如果均比 z 小（没有 b 的情况），则新式的值 $= \frac{u+2x}{v+x} ≧ \frac{u}{v}$，若两个都是 b，则将 z 换成 a ，结果是最好，若有一个 b，同样将 z 换成 a，结果最好。

uk702

由此大概可以得出完整的证明（就是 5# 的证法）：

1）先证明当式子取最大值，诸 $x_i$ 中，其最小值必然为 a；
2）假设 $x_i$ 是诸 $x_i$ 中的最小值，证明将 $x_{i+1}$ 的值设为 b，新值 ≧ 原值。
3）再证明将  $x_{i+2}$ 的值设为 a，新值 ≧ 原值。

∴ 诸  $x_i$ 中，a、b、a、b、... 交错时为最大值。

hbghlyj

链接9#
Let $a,b,c$ be real numbers . Prove that
$$3|a|+|a+2b|+|5b+c|+7|c|\geq \frac{37}{24}(|a+b+5c|)$$$$3|a|+|a+3b|+|5b+c|+5|c|\geq \frac{28}{19}(|a+b+4c|)$$Let $a,b$ be real numbers such that $|a| + |b|\neq 0$ . Prove that
$$\frac{2}{3}\leq \frac{|a + 2b| + 2|b|}{|a| + |b|}\leq 4 $$$$1\leq \frac{ |a + 2b| + 3|b|}{|a| + |b|} \leq 5$$
math.stackexchange.com/questions/1427624

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2022-9-16 14:13
artofproblemsolving.com/community/c6h1568635p9618212\[\frac{2}{3}\le \frac{|a+b|+|a+c|+|b+c|}{|a|+|b|+|c|}\le 2\]

5元最小值为$2\over5$

1. l = {x1, x2, x3, x4, x5};
2. S = (1/Total[Abs /@ l])Total@
3.    Table[Abs[#1 + #2] & @@ RotateLeft[l, i][[;; 2]], {i, 5}];
4. Minimize[S, l]

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