来自讨论组：两边动点直径圆与第三边相切求最小

kuing

v* 22:29:18

求几何法

OCR一下：[题目]已知点A, B分别为y= 2x,y= 0.上的动点,以AB为直径的圆与直线l:x+ y- 2= 0相切，则该圆面积的
最小值为

几何方法想了半天想不出，你们来……（@isee @乌贼 等……

PS、代数方法好像算出圆心在双曲线上……

kuing

研究一般情况，搞了个不算太几何的几何法，还搭上了柯西



如图，设圆的半径为 `r`，记 `DF=x`, `EG=y`，则 `x+y=2r`，另一方面，有
\begin{align*}
2r&=\sqrt{(x-y)^2+FG^2}\\
&=\sqrt{(x-y)^2+(BC-x\cot B-y\cot C)^2}\\
&=\frac{\sqrt{\bigl((\cot B-\cot C)^2+4\bigr)\bigl((x-y)^2+(BC-x\cot B-y\cot C)^2\bigr)}}{\sqrt{(\cot B-\cot C)^2+4}}\\
&\geqslant\frac{(\cot B-\cot C)(x-y)+2(BC-x\cot B-y\cot C)}{\sqrt{(\cot B-\cot C)^2+4}}\\
&=\frac{2BC-(\cot B+\cot C)(x+y)}{\sqrt{(\cot B-\cot C)^2+4}}\\
&=2\cdot\frac{BC-(\cot B+\cot C)r}{\sqrt{(\cot B-\cot C)^2+4}},
\end{align*}解得
\[r\geqslant\frac{BC}{\sqrt{(\cot B-\cot C)^2+4}+\cot B+\cot C}.\]

对于 1# 的题，有 `BC=4\sqrt2/3`, `\cot B=1`, `\cot C=1/3`，代入化简为
\[r\geqslant\frac{2\sqrt2}{\sqrt{10}+2}=\frac2{\sqrt5+\sqrt2}=\frac23\bigl(\sqrt5-\sqrt2\bigr),\]答案是不是这个？

乌贼

几何法没想到，代数法：如图

以$ D $在$ BC $上的垂足$ O $为原点，$ BC $为$ x $轴建立坐标系，$ DE $的中点$ F $即为过$ AD $的中点且平行于$ AC $的直线与抛物线的交点，令$DO=k,0\leqslant K \leqslant \sqrt{2}$，求出$ F $的$ y $坐标值的最小值就可。