来自讨论组的二元小不等式 `\sqrt{a^2-ab+b^2}>(a^ab^b)^{1/(a+b)}`

kuing

v6 21:26:14

kk这玩意怎么证明？

由加权均值不等式有
\[
\LHS^2=\frac{a^3+b^3}{a+b}
=\frac a{a+b}a^2+\frac b{a+b}b^2
\geqslant(a^2)^{a/(a+b)}(b^2)^{b/(a+b)}
=\RHS^2.
\]

力工

感觉和这题：已知$a,b,c>0,abc=1$，则$\Sigma \frac{a^a+b^b}{1+c}\geqslant 3$
有点亲戚关系。

kuing

回复 2# 力工

没关系，这个幂指纯粹吓人，只要利用 `x^x\geqslant x` 轻轻一放缩就好了。

力工

回复 3# kuing
orz,厉害我郭哥！一眼看破，我用了两个函数不等式才转化。$xlnx\geqslant x-1,e^x\geqslant1+x+0.5x^2$。累啊

kuing

感觉和这题：已知$a,b,c>0,abc=1$，则$\Sigma \frac{a^a+b^b}{1+c}\geqslant 3$
有点亲戚关系。 ...
力工 发表于 2019-11-14 21:00

还是写个过程：易证 `x^x\geqslant x`，由条件有 `a+b+c\geqslant3`，所以
\begin{align*}
\sum\frac{a^a+b^b}{1+c}&\geqslant\sum\frac{a+b}{1+c}\\
&\geqslant\sum\frac{a+b}{\frac{a+b+c}3+c}\\
&=3\sum\left( 1-\frac{4c}{a+b+4c} \right)\\
&\geqslant3\sum\left( 1-\left( \frac1{a+c}+\frac1{b+c}+\frac1{2c} \right)\frac{4c}9 \right)\\
&=3.
\end{align*}